CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

Car après la substitution de ces fonctions à w, 6, ..., t dans la première équation (1) par exemple, les termes en (1/C, dUu dx ?

et A, (Ou + B, (Mo —+...+ H,(097, ..., fonctions qui sont respectivement identiques parce que (lu, ..., (1/4, .., sont supposées satisfaire à cette équation.

dans son premier membre et dans son second sont

IL. Sik = $g,et si le déterminant des fonctions (5) n’est pas identiquement nul, les expressions (8) sont les intégrales générales des équations (1).

Effectivement elles ne renferment que des intégrales (I); de plus, elles peuvent acquérir des valeurs initiales arbitrairement choisies wo, ..., to pour toute valeur x, de æ, n'annulant pas le déterminant en question. Car en y posant æ — x, et les égalant à Wo, --., Lo, On obtient entre les valeurs de (/C, ..., un système d'équations linéaires toujours possible. On peut donc faire coïncider ces fonctions avec un groupe quelconque d’intégrales par-

ticulières (382*).

44. La comparaison du système (1), supposé maintenant non homogène, c'est-à-dire quelconque, avec le système homogène auquel le réduit la simple suppression des premiers termes K,, K», ..., K; dans ses seconds membres, conduit ensuite à ce: observations évidentes.

En représentant par (9) Pre (0/0 PROMIS

un groupe donné quelconque d’intégrales du système non homogène, et toujours par (7) des intégrales quelconques du système homogène, les fonctions (8) augmentées respectivement des fonctions (9) sont des intégrales du système non homogène.

I. Si kg, et si le déterminant du Tableau (5) n'est pas identiquement nul, les fonctions définies ci-dessus (1) sont les intégrales générales du système non homogène. En d’autres termes : on obtiendra les intégrales générales du système non

homogène, en ajoutant respectivement des fonctions telles

1 41 ? " C4 U que (9), composant un quelconque de ses groupes d’intégrales particulières, aux intégrales générales du système homogène.

45. Du théorème suivant résulte une connexité étroite et remarquable entre l'intégration du système quelconque (1) non homogène, et celle du système homogène correspondant.

Si l’on connaît k£g groupes d’intégrales particulières du système homogène, formant un Tableau tel que (7) où Le déterminant de quelque association de k lignes n’est pas identiquement nul, l'intégration du système non homogène revient à celle d’un système de même forme, mais à g—k fonctions inconnues seulement, et à l’exécution de k quadra-

tures (223* bis).

Pour fixer les idées, nous supposerons que les Æ premières lignes du Tableau (3) donnent ainsi un déterminant non uul, que æ, s sont les lettres affectées à la notation des intégrales connues composant ses Aïème et (k + 1)ime lignes, et nous poserons

u = DC Wu +,...+VW0CWu, (5 Ps à (DC (Do + ,,. .—+ (x)C Gp,

où maintenant (NC, ..., WC representent non plus des constantes, mais k fonctions indéterminées de x, puis

F1) 4e CNP 1, LE t—=WCUz +... + CUS LE,

où 4, ..., t représentent g — X autres fonctions indéterminées.

Quelles que soient w, #, ...,æ, s, ... t, les g équations (10), (11) peuvent être résolues par rapport aux g fonctions (OC, ..., MC, s, ...,t, parce qu’elles sont linéaires et que le déterminant des coefficients de ces dernières se réduit à celui des X premières lignes du Tableau (7), lequel est essentiellement supposé 0. Il en résulte que les formules (10), (11) peuvent donner pour w, PO, es W, 8, +-., € tous les groupes de fonctions imaginables,