HER (T); LE = SITE

(16) dx dx

En d’autres termes (43, 111), {a connaissance des intégrales générales du système homogène réduit la recherche de celles du système non homogène à de simples quadratures.

En appelant ic, ..., (81c des constantes arbitraires, 4, une valeur initiale quelconque de x, et en représentant par une autre lettre & la variable d'intégration, toutes les solutions des équations (16) sont fournies par les formules

Fr 1 x

(17) WC = We + Î WOL(E) dé, NE BC = (80 + f BX(E) dé,

Ed p x |

et ce sont ces fonctions qu’il faut porter dans les expressions (10)

(en y supposant # — g) pour avoir les intégrales générales du système (1).

Les termes dépendant de ()c, ..., (81c reproduisent (à la nota-

CHAPITRE ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES, 67 tion près) les intégrales générales du système homogène, et les sommes des autres constituent des fonctions particulières à ajouter respectivement à ces intégrales générales pour avoir celles du système non homogène.

47. Pour former ces fonctions additionnelles, Cauchy a donné cette élégante règle : Chercher les intégrales particulières du système homogène qui, pour x — 6, se réduisent respectivement à K,(Ë), ..., K£(E) résultats de la substitution de & à x dans K,(æx), ..., K.(x), premiers termes des seconds membres des équations non homogènes (1), puis intégrer par rapport à & et de = x, à & = x, les fonctions de x, Ë ainst obtenues.

L'opération, expliquée tout à l'heure, conduit effectivement à intégrer par rapport à 6, de x à x, les g fonctions de x, £

WX(E)Hu(z)+...+ a (E) au(x), WAX(E) Mir) +... HISN(E) (Sr).

Or, ce sont des intégrales du système homogène, puisque (Mu, ..., (84 y sont multipliées par des quantités indépendantes de (45,11, IIT), et elles se réduisent bien à K, (6), ..., K.(E), quand on y fait x —£. Effectivement, si l’on y faisait inversement £— +, substitution équivalente à la notation près, il viendrait

WDX(r)Wu(r)+...+BX(x) Elu(x),

ce que les équations (16) réduisent à

duc