CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

où P, ..., T, U, V sont naturellement des fonctions de x seulement, dont la dernière porte le nom de second membre. Pour faire la théorie d’une équation de ce genre, il suffit de combiner les principes généraux (381* ec suiv.), (Cf. 409*) avec les propriétés du système immédiat équivalent

du À — — u dx «

du L dx

(19) ( Lt LOTO ER ON IC DU EAU ENCRES LINEAR dufg —2) dr

du\g-1) FC 7e FRANS V—Uu—Tu —...—Putg-1), œ

qui est toujours linéaire aussi comme nous l'avons déjà remarqué (40). Nous nous contenterons donc des observations sui-vantes.

I. L'intégrale générale a la forme linéaire (20) u = Uo + Gu+...+ Colg (42), et les g fonctions u,, ..., us sont linéairement indépendantes, c’est-à-dire qu'aucune d'elles ne peut s'exprimer

d’une manière linéaire et homogène au moyen des g —1

autres.

Si, appelant Yi, Ye, ++. Ve quelque système de constantes non toutes — 0, on avait identiquement

(21) ii Yale +... + Yglg = 0,

on trouverait aussi, en différentiant 1, ... (g — 1) fois,

} ' ! (Se.

Yi + {2 Uo Tee + Yglüe = 0, MAUVE yaus MER Tu = 0,

puis, en éliminant y,, -.., Vs,

Us U ww Ug ti Us ue ue à Le] EL Ge) — 0.

Or cette identité est impossible parce que son premier membre est le déterminant différentiel pris par rapport aux constantes arbitraires de l'intégrale générale el de ses g —1 premières déri-

vées (409*, IIT).

II. Quand le second membre NV de l’éqgrcation (18) est identiquement nul, on peut toujours faire en sorte que le premier terme u, de son intégrale générale n'existe pas. Car alors le système équivalent (19) est homogène (43, 1).

I. Se, dans la même hypothèse, (23) Ui; US SERNAUr sont des intégrales particulières de l'équation (18), la fonction (24) Cu + CGour+...+ Crux en est une autre, C;, ..., Cx désignant des' constantes arbi-

traires (A3, Il). St de plus k = g, et si les fonctions (23) sont linéairement

(or.

indépendantes (1), La fonction (24) est l’intégrale générale. Car alors l'identité (22) ne peut avoir lieu (51, énf.).

IV. Pour obtenir l'intégrale générale de l'équation (18), à suffit d'ajouter une de ses intégrales particulières, choisie à volonté, à l'intégrale générale de la même équation rendue homogène par la suppression de son second membre (44, I).

V. On peut former cette fonction additionnelle en intégrant de 5= x à = x l'intégrale particulière de l'équation sans second membre déterminée par les conditions initiales

Hi US EME 0 et U\TRUEN (E), pour + = Ë,

C’est ce que donne immédiatement la règle de Cauchy appliquée au système équivalent (19); car les premiers termes des seconds membres sont identiquement nuls dans les g — 1 premières équations, et celui de la dernière est V(æ) (47).