CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

en une intégrale indéfinie simple fournit une application intéressante de la dernière observation. Cette intégrale étant, par définiion, l'intégrale générale de l’équation linéaire

2 je TR MG),

(26) son expression s obtiendra en ajoutant à un polynôme entier en x et de degré 9 — 1, à coefficients indéterminés, intégrale générale de l’équation sans second membre (192*), une intégrale particulière quelconque de l’équation pourvue de son second membre; et, pour cette intégrale particulière, on peut prendre

\ À Le £g—1 (27) [ . 6) < V(Ë)d.

» IS SR di

Effectivement la fonction de x, placée sous le signe f', satisfait à l'équation sans second membre puisqu'elle se réduit à un polynôme entier de degré < £; de plus, elle s'évanouit pour x — Ë avec ses g — 2 premières dérivées, tandis que sa (g —1)""° se réduit à V(E).

L'aptitude de lexpression (25) à vérifier l'équation (26) est d’ailleurs facile à vérifier, car on trouve immédiatement pour sa

dérivée première (259*)

x 7 PE) E\g—1 RNA TEE na Le AS MUR + 2. PO (et RER == V(E) dE,

puis de même, pour ses dérivées d’ordres 2, ..., 9 —1,

(Ra)

; (a — E)s—3 N Fe c) de PE de On, vu

" Ce:

et finalement, pour sa gi", [V(É) = = V(x).

La réduction des g intégrations comportées par l’expression (25) à celle en apparence unique de l’expression (27) peut sembler paradoxale; mais, au fond, cette dernière n’est pas moins compliquée que l’autre, puisqu'elle est embarrassée d’une variable

paramétrique, ou bien, si l’on préfère ce point de vue, qu’elle se montre composée de g intégrales dépourvues de variables paramétriques, par le développement du facteur (x — £)#t.

Lo . CRC] *

91. Nous terminerons ce paragraphe par la proposition à laquelle nous nous sommes référés au n° 49, IIT, et qui est utile dans d’autres circonstances encore.

Si les déterminants du Tableau

| Ui, LU), , U} ! !