CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

identiquement nulles, qui donnent les g suivantes

Tu: + Vo uo + + loug 0, REP TES EN ET Qu, = 0,

et si Pi, Lo, . .., l, se réduisent toutes à des constantes, l’exactitude du point en question résulte immédiatement de la première de ces identités.

Sinon l,,l;,...,[", ne sont pas toutes — 0, et la combinaison du résultat de la différentiation de chacune des identités (32) avec la suivante donne les 2 — 1 autres

e LA AA —— ra Us = + er — O, ! gs Qi n l ! ! FE Te, Tous +... Tous 0,

(33) | [ u(eT2) + A en RO L2 u#—2 — 0, Cela posé, et moyennant l'inégalité (31), la comparaison des

identités (33) avec les g —1 premières du Tableau (32) montre que tous les déterminants du Tableau

FAP ie CrcTe TA

sont identiquement nuls, et, par suite, puisque dans aucune des deux lignes de celui-ci, les éléments ne le sont tous, que la dernière équation du Tableau (32) donne aussi bien

(34) DUREE Tu 1 Due" 1 0.

En diférentiant donc cette même dernière équation du Tableau (32) et la combinant avec celle-ci (34), il viendra

Liu Tiu ET ul = 0, puis indéfiniment à l’aide du même raisonnement (35) Puf + Toul +... Tu = 0, où & est l’indice d’une différentiation d’ordre quelconque.

Si maintenant on attribue à + une valeur particulière E rendant olotropes toutes les fonctions w,, us, ...,ug et donnant aux

fonctions T,, T,, ...,T, des valeurs particulières y}; 2,172 dont la dernière soit -Zo, l'identité indéfinie (35) montre que pour += € la fonction

à Yi + Yale +... EYzüg

s’'évanouit numériquement avec ses dérivées de tous ordres. Cetté fonction s’évanouit donc identiquement, comme nous voulions le prouver (187*).

En regardant les gk éléments du Tableau (29) comme des constantes arbitraires, les qg identités (30) peuvent être considérées comme des éguations intégrales générales du système d’équa- Uuons différentielles, d'ordre À — 1, entre les fonctions w,, u», . .., ux, que l’on forme en égalant à zéro tous les déterminants du Tableau (28).

Intégration des équations linéaires à coefficients constants.

92. Le système linéaire (1) du n° 40 est dit à coefficients constants, quand les multiplicateurs de w, ?, ..., t dans les seconds membres s’y réduisent tous à des constantes. Sé, de plus, l'est homogène, cas auquel tous les autres se ramènent facilement (46), ses intégrales générales se réduisent toujours à des fonctions composées entières de x et d’exponentielles à exposants linéaires en x. Son intégration générale s'exécute par des formules d’une rare élégance dues à Cauchy, que nous allons étabhr en suivant toutefois une marche différente.

Nous écrirons le système à intégrer

du niet C1 U =, 00 +... .+ hit — O, dx C de ; — +au + bi +...+ hot =0,

(1) dx dt à k J ÉEAS ER Es réa Ti Agu+ Ogg +...+ gl =0,

Où 43, -.., hg Sont des constantes quelconques; nous représenterons par

(2) Uo, Vo; OX lo