UE > UE UE

(3) J(s)= | pe fn SE DiSE 1H... Da | 2 0 S+he

polynôme entier de degré effecuf g par rapport à la variable

auxiliaire $, puis

| U(S)= do(s) + Pots) +. loag(s), (4) o(s) = uoB (S) se Po Ba(s) THAT Te lo Bet(s), TOO unis) Vo nos) HSE a(s), A s 4 polynômes entiers en s, de degrés apparents — g —1, dans le Tableau desquels les multiplicateurs de w6, 5, +. , lo représentent les déterminants d’ordre # — 1, mineurs complémentaires des 5 ) P

éléments du déterminant (3) contenant les lettres romaines analogues affectées des mêmes indices respectivement. Cela posé, on a ce théorème très simple :

Les intégrales du système (1) ayant les valeurs initiales (2), c'est-à-dire ses intégrales générales puisque ces quantités demeurent arbitraires, sont fournies par les formules

SUD CS) es(X—Xo) œ (s)es(x—xo) SEC PSS eS\X— Lo) — MAT T0

Ted / — ; GS 5 T —= 7 CC, JS) EE CSI CE SES)

dont chaque second membre est le résidu intégral de la fonc-

tion méromorphe de s placée sous le signe £ (56**). ÿ <

Il: Les valeurs initiales Um, Vm, +: -, tm des dérivées d’ordre quelconque m des intégrales cherchées sont liées entre elles par les g récurrences simultanées indéfintes

U m+1 + dim + Di0m a L, Ur == 0:

(6) Pm+1 + A2 Um + Da0» SE TE IQ hot = 0; Üm+1 + lygUm + brVm+. er Rte 0.

Pour les obtenir, il suffit effectivement de différentier m fois les équations (1), puis d’y poser & = to.

76 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. II. Les séries entières en z U(z)= uo+ U13 + U22? +. + Una + ns V(z) = 60 + "13 + ..... + Pyn SEE (7) { T3) = 10 + 13 + ....... —- Tr SENS

admettent des rayons de convergence tous différents de 0, et leurs sommes sont fournies par les formules

Uo A3) + PoAo(3z)+.. nr loAe(3) SR Ne en LU