III. Sc, F(z) désignant toujours le polynôme (0), de degré

effectif =g,

(11) Dre

= Dpt W12 +. EM AN +...

est le développement par la formule de Maclaurin, d’une fraction rationnelle en 3 dont le numérateur Q(z:) est un polynôme entier quelconque en 3, la série entière

fre

w1 Warrant Won A 5 ed en sn UNS

est convergente pour toutes les valeurs de 3, et sa somme est fournie par la formule

ur 0):

1° Quand la fraction rationnelle (11) se réduit au monôme

73 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. entier (14) 3*,

on a évidemment

(190 {ZX | f Ge ke es esz BR —— —= a — 27 ae PsDs.. K : CO SORTE ch. $

2° Quand elle se réduil-à la fraction simple

Es Us)

s; désignant quelque constante :£o, on a

I ONCE here (139*)

Dntg.

D'où, successivement et sans difficulté,

{ I A I 2 : | S; 3 ((i—s:3)4\ 1.2...(q —1) PCR ER TEE 1.2.0 I D da—1 da—1 (s3)"+9—1 } Bo ii(g —1) ( ds1-1 | d31-1 j.2...(m+g1)MS= l di dt | — mt lente SZ A** :

122% (qg—1) = dz1 4 CHERS I dq—1 TE ET SR TERRES PERTE à 4 4 r 1.2...(g —1) = ne )j

Or (6**) cette dernière expression est précisément le résidu de la fonction méromorphe de s

s7—1 esz (s — Si )7

par rapport à son infini s; de degré g de multiplicité. On a donc

en définitive

ü I ) s1—1esz ï es= (17 yes Cuits si) ns ss $ . PARQUET

3° Dans le cas général, et cela parce que l’équation F(:)=o n'a jamais la racine 3 — 0, la fraction rationnelle (11) peut être