CHAPITRE II. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

mise (b2**) sous forme d’une certaine fonction linéaire et homogène de monômes entiers comme (14) et de fractions simples analogues à (16), et, par suite, la série (12) sous forme de la même fonction linéaire et homogène des résidus tels que (15), (17) correspondant à ces divers éléments simples.

Or en réunissant tous ces résidus partiels en un seul résidu intégral, la réduction en une seule fraction des termes simples en

: ADR : : es s amène évidemment sous le signe *£ le produit dé par l'expres- $

sion

ce que nous avions à prouver.

IV. Les formules de Cauchy sont maintenant évidentes; car les développements des intégrales s’obtenant par la substitution de æ — x à 3 dans les formules (5), après l’apposition du diviseur numérique 1.2...1n sous le coefficient de 3”, se sommeront par la formule (13) où l’on prendra successivement pour Q(z:) les numérateurs des seconds membres des relations (8). On trouvera donc bien les formules (5), à cause de l'identité immédiate

ME ssF(:) = f(s), et de celles analogues fournies par la comparaison des numérateurs en question avec les polynômes (4).

La simple substitution des fonctions (5) montre d’ailleurs « posteriori qu’elles satisfont effectivement aux équations (1); comme en outre les termes de degrés maximum dans f(s), 4,(s) sont 55, s87!, et que les polynômes &(5s), &3(s), ..., 29(s) sont de degrés certainement inférieurs à"9 — 1, la discussion des résidus montrera sans difficulté que, pour x = x,, on a bien # = ws, ÉdEméme ps, ..., 6 — {0 (04**),

V. Pour calculer, dans la première des formules (5) par exemple, le résidu partiel relatif à la racine s; de degré de muluplicité g; de l’équation caractéristique (18) Ts)

il faut (56**) diviser par 1.2...(qgi;— 1) la valeur, pour s —5s;, de

la dérivée (gi; — 1)*" par rapport à s du produit , [DEEE] era J{s)

Le développement de cette dérivée (255*), suivi de la substitution numérique s — s;, fournit le produit de l’exponentielle à exposant linéaire e“?-*) par quelque polynôme entier en x de degré gi —1, ce qui est conforme aux indications du commencement de ce numéro.

93. 51 les équations (1) cessaient d’être homogènes par suite de la présence dans leurs seconds membres, de fonctions de x non toutes identiquement nulles, K,(x), ..., K,(x), la règle de Cauchy (47) fournirait immédiatement les fonctions à ajouter aux expressions (>) pour en avoir les intégrales générales. Ces fonctions additionnelles s’obtiennent en intégrant de æ à à par rapport à &, ce que deviennent ces mêmes expressions (à) par la substitution de & à xs etdeK, (E), "AR AENONRE l, respectivement. Pour la première par exemple, il vient ainsi

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94. Les formules (5) sont naturellement compliquées d'imaginaires, quand les coefficients du système (1) ne sont pas tous réels, ou même quand ils le sont, si les racines de l’équation caractéristique (18) ne le sont pas loutes.

Mais, comme dans ce dernier cas les développements des intésrales ne peuvent manquer d’avoir leurs coefficients tous réels, pourvu toutefois que les valeurs initiales (2) aient été prises telles (28** bis), leurs expressions générales (5) peuvent certainement être mises sous une forme réelle même en apparence.

On y réussit en observant que toute racine imaginaire s; + £5;