I. L'équation caractéristique de ce système est précisément

(21) (5) = SE + pis8—1+,. De 1S + Pre = 0:

L . . 2 ot diu Pen e résultat de la substitution de st à ne dans l’équation pro-

posée (20). C’est ce que montre une transformation facile du déterminant (3) construit pour ce cas.

IT. Sz s; est une racine de degré de multiplicité q;de l’équation (21), chacune des q; fonctions

ra.) CT DEN PRIT Li el CS

est une intégrale particulière de l’équation (20). M. — III. 6

Six d S;X d S;X d S;X dai”1 SX $ “4 esi —— esi —— esiX ... esi pe ——— ei esi+1 ds; ds? ds} dsqi-1 d da ddi-1 s;esix —— (s;esit), 7,.... (s;esi SjeSiX) Sy eSitiX : ds; ( : ) ds} L ) dsdi- ri: z ) +1 S1651 ds; Se saisies tie ee | eee ele es NC RE Sips 2H ; d' Sr Ves LR (87 el) OMS ARE S5T LES), 1... 47 81 esinx s° < ( É ) FT i ) * PAR

Car, en appelant un exposant positif quelconque, on peut écrire

moyennant quoi le résultat de la substitution de cette fonction dans le premier membre de notre équation différentielle se met facilement sous la forme

d{ sx L/(s)e5#]

Or cette quantité s’'évanouit identiquement quand y est € g;, parce que lés termes du développement de la dérivée formé par la règle du n° 255* ont pour facteurs les quantités

H(S), SACS LES FA(Ss),

toutes nulles par hypothèse pour s = s;.

III. Les g fonctions analogues à (22) que fournissent au total les racines numériquement distinctes de l’équation caractéristique (21) sont linéairement indépendantes (49, T).

Dans le cas contraire, en effet, le déterminant (22) du numéro cité qui est 101

serait identiquement nul. Or c’est impossible, car les opérations consistant : 1° à multiplier ce déterminant par e‘* et en même temps par e*# les éléments de la colonne occupant le (A + r)ième rang dans le groupe de celles où est engagée la racine s;; 2° à ajouter aux éléments de cette colonne ceux de mêmes rangs dans