CHAPITRE I. — INTÉGRATION INDÉFINIE DES DIFFÉRENTIELLES COURANTES

positifs), et F une composante rationnelle, l’intégrale

53 1 ax+b\m /ax+b\m:

F SPACE ARTE a) 1e L. Fe (EE Z x eh | est réductible, par une simple substitution rationnelle, à celle d’une différentielle qui est rationnelle aussi.

En appelant M le plus petit multiple commun des nombres m,, Me, ..., et é une nouvelle variable d'intégration, 1l suffit effectivement de poser

(5) EE el cs c’est-à-dire 3) TETAURS d’où ARE t) dt,

p(t) étant une certaine fonction rationnelle de £ qui s'aperçoit immédiatement. Car l'intégrale (1) devient

el dt frlec, Êm, dm, … foceyde (333*),

où la fonction sous le signe f contient { d’une manière évidemment

rationnelle, parce que 0: SOUL des nombres entiers.

Celle-ci ayant été calculée par les moyens que nous connaissons (170**), (171**), (188**), (1 ec suiv.), on revient à la proposée (1)

par la substitution

__fat+ b\M | ;

inverse de (2).

6. Depuis longtemps (227**) nous savons que l’intégrale (4) SF(x, Va +bzx+cx) dr,

où F est une composante rationnelle et a + bx + cx? un polynôme du deuxième degré à zéros simples, est réductible à celle d’une différentielle rationnelle par une substitution rationnelle du deuxième degré; nous savons, en outre, l’exprimer au moyen de fonctions algébriques et logarithmiques. Nous reviendrons à son calcul un instant toutefois pour indiquer comment on

peut éviter l’intrusion des imaginaires, quand les données sont réelles, ainsi que le radical pour les valeurs de x à considérer.

Le procédé classique consiste à employer, suivant les circonstances, l’une ou l’une des trois substitutions suivantes où & représente la nouvelle variable d'intégration et p(1) une certaine fonction rationnelle de £ qui dans chaque cas n’est pas illusoire et s'aperçoit immédiatement (333*).