CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

résoudre par rapport à w pour obtenir l'intégrale particulière se réduisant à wo pour & = Lo.

Il est évident que l’équation (1) n’a aucune intégrale singulière si l’on n’a pas identiquement X — 0. Quand X — 0, elle n’en LILI", : ; À 7 à l'expression zéro qui ne peut cesser d’être olotrope (379*), (406*).

a pas davantage, car elle réduit

98. Quand on se trouve en présence d’une équation du premier ordre à intégrer, on commence toujours par essayer d’y séparer les variables. On y réussit quelquefois en la multipliant par quelque fonction de x, w, jouant alors le rôle de multiplicateur intégrant (399* e£ sute.), plus souvent par un changement de variables approprié aux circonstances (Cf. 60, inf.).

Si l'équation donnée était, par exemple, de la forme

du $ (2) tr U(u) X (EE 4 AN es 1 Le ; sa simple multiplication par Ua) donnerait l'équation Du RAR Gide T° CE

où les variables sont maintenant séparées.

59. Cette observation conduit en particulier à l'intégration de

l'équation linéaire et homogène du premier ordre du — = API dx (a

qui se change ainsi en

= = A(æ), d’où en intégrant (171**)

I(uy= A(x)dx + 0,

ou bien ui À dx rai = Ce 0 (194** et suiv.),

. 4 ? ce si, pour abréger, l’on pose e°— C.

S'il s'agissait de l'équation toujours linéaire, mais non homogène, du ——— K(x)+A(T)u pre (æ) (æ)u, il suffirait, pour obtenir son intégrale générale, d'ajouter à la fonc-

tion (3) l'expression à 4! ë f A dx - [ Adx e“ 0 K(Ë)e “ % dé, Lo

obtenue en intégrant par rapport à & de £— x, à Ë= x, la détermination de cette même fonction qui, pour æ = 6, se réduit

60. Un changement très simple de la fonction inconnue suffit pour séparer les variables dans l’équation homogène du premier ordre

équation de forme immédiate, dont le second membre se réduit à quelque fonction composée du rapport 4 T

En appelant effectivement v une nouvelle fonction inconnue,

et posant