I. Quand on n’a pas
di bi
(4Æ) Da
il existe une paire de quantités æ5, wÿ donnant numériquement A1 Lo + by Uo + C1 = Le To + ba lg + C2 = 0,
moyennant quoi si, appelant x’, u' une nouvelle variable et une nouvelle fonction inconnue, on pose
M Do iT, U—= Up +, du
d’où Tx = ee (325*), l'équation (5) prend la forme homogène
du’ dx + bu!
dx’ QE A2 L' + Da u'
IT. Quand au contraire l'égalité (8) a lieu, «w est l'intégrale indéfinie d’une différentielle rationnelle du premier degré, si
De = 0.
Autrement, on a identiquement dx + biu = k;i(ax + bu), dix + bau = Ka(ax + bu),
avec d “0. En appelant donc # une nouvelle fonction inconnue, la substitution
"PMU == 2 À , d’où du ot do Er dx a bd dx b change l'équation (5) en celle-ci dx kiv + c1 de 4 a b Ko v —+ Co
rentrant dans la forme plus générale (2) où les variables se séparent par une simple multiplication.
62. Les intégrations particulières que nous venons d'exécuter s'appliquent à des équations différentielles mises avant tout sous la forme immédiate. Mais on conçoit sans peine la possibilité d'opérer autrement dans certaines circonslances; en voici un exemple.
Supposons qu'il s'agisse d’une équation différentielle dont la résolution par rapport à la fonction inconnue soit pratiquement facile et la transforme en
du (9) u=F(e, Re):
L’adjonction d’une seconde fonction inconnue p et de l’équa- 5] (77 SA à » \ 2% > x tion > —p, permet de substituer à l’équation (9) le système
mixte (376*, V) des deux équations
u—F(x,p), tie) du dx = AP;
aux deux fonctions inconnues uw, p. Une combinaison évidente de la seconde équation avec le résultat de la différentiation de la.
CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES. 91 première, change ensuite ce système en cet autre HT) p).
(11) p= F0 (x, p}+ FO (x, p) LE,
qui lui est équivalent; car on régénère la seconde équation (10) en combinant la seconde du système (11) avec la première préalablement différentiée. En outre la seconde équation (11) ne con-
tient pas w, el : y entre linéairement, d’où la possibilité de la mettre sur-le-champ sous la forme immédiate. Pour obtenir la fonction w, 1l suffit donc d'intégrer l’équation en p dont il s’agit, puis de porter l'expression de p, au moyen de x et de la constante arbitraire, dans la première équation du même système auxihaire (10). Dans les cas suivants on y réussit par de simples quadratures.
I. Quand F (æ, a) » second membre de l’équation proposée (9),
dx 4 ne contient pas æ et se réduit par exemple aff) on à D
F&9(x, p)=0, FO,1(x, p)=f"(p);
et la seconde équation (11) devient
où les variables sont séparées (57).
IL. Quand F (z, me) est linéaire par rapport à x et de la forme
o(p)æ+v%(p), on à
F0) (x, p)=@(p), F@t(x,p)=œ@(p)z +4 (p), et la seconde équation (11) devient (12) p= g(p)+ [9 (pe + (p)] L.
Cela posé, si l’on n’a pas
92 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. l’inversion de la fonction inconnue p (329*) change l'équation
précédente en une autre
dx Y'(p). v'(p) SDAAP — p(p) HP EAEURE
qui est linéaire par rapport à la nouvelle fonction inconnue x de la nouvelle variable p (59).
Si au contraire l'identité (13) a lieu, cas auquel l'équation proposée (0), dite alors de Clairaut, a la forme
i C du du (14) D = DE + Ÿ Trou l’équation (12) se réduit à
dp
er 7 MÉCVE [er -HHCRASR ES donnant soit
d soit æ + Ÿ'(p)=o.
rs : SATA du L ; La première alternative conduit à p = GC — nr. d’où, pour l’in-
tégrale générale de l’équation de Clairaut, (15) u = Ox + 4(C).
La dernière conduit à la fonction w de x formant conjointement avec p un couple de solutions des équations finies u=pæ—+Y(p), (16) :
Mais cette autre intégrale est singulière (288*) ; car la fonction p de x, u considérées comme deux variables indépendantes que fournit la résolution de l'équation différentielle proposée (14),
opérée par rap Nr me est racine de l’équation finie P P PP Sr acine de l'équatio n
Tp +%(p)—u=o
et satisfait par suite au système immédiat d'équations différentielles totales provenant de la différentiation de celle-ci par rap-
