L’équation du second ordre
du (17) F (a, Ta )= °
peut être intégrée de deux manières, selon que sa résolution par
rapport à —— ou à & est pratiquement la plus facile. dx?
Dans le premier cas, on obtient à sa place
du
dx?
forme très fréquente dans les applications mécaniques. En la
re ; À 14 ANTTRERS multipliant par 2 —; 1l vient dx
du d'u du = 2f(u) Fe
dx dx?
où les deux membres sont les dérivées de certaines fonctions composées (différentielle et finie) de w considérée comme fonction simple indéterminée (265* ec suie.). En prenant donc leurs intégrales indéfinies, on trouve cette intégrale première (Cf. 400*)
du \? E É) =» [ J{(u)du + CO,
du £ | De = EM f(u)du + O,
équation du premier ordre rentrant dans la forme (294€ qu'il
ou bien
CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES. 95 suffit d'intégrer pour avoir l’intégrale générale de l’équation pro-
posée (17) ou (18).
Dans le second cas, on obtient
(19) u=e( Ts):
dx?
On procède alors à peu près comme au n° 62, en introduisant deux fonctions inconnues auxiliares p, q définies par les équations
du dp. . le d? :)
” dx?
Pt 6 TS
ce qui substitue à l'équation unique (19) le système mixte (376*, V)
u—=9(g), AU (20) An 0 ap | ds 1
Si maintenant on prend qg pour variable indépendante au lieu de æ, ces équations deviennent
du dx dp dx == s NES 2 ee ———) ee P*
ou bien, en combinant les deux dernières avec la première différentiée (par rapport à g maintenant),
dx __p(gq)
dp 5 I Se — —— = (21) u —=@(g) dq p P? dq q®(q)
La dernière, où les variables sont séparées, donne 7 f PAT » [ g9(q)dg + Gi; go *
p étant maintenant connue, la seconde donne en intégrant encore
| 7 = f Dates To P
et, pour obtenir w en fonction de +, il n’y a plus qu’à porter dans la première équation (21) l'expression de g tirée de cette dernière.
66. Sauf les difficultés que sa résolution peut offrir, une équation d'ordre quelconque mais de la forme
d£u dg+hu F(——, ——— )—0o, dxs dxsr!
où T2, est toujours intégrable par les quadratures. Si, en effet, on la résout par rapport à la dérivée de l’ordre le plus élevé, il
vient AE FA On d£ u dxg+rh dxe |’ et si l’on pose ensuile 4" — p, on la remplace par le système P dx£ 1 Ï P dE / d£u (aa) ALES 1 22 | di p dx JP}
entre les fonctions inconnues w, p, l’une principale, l’autre aux1liaire. |
Quand k — 1, la seconde équation (22) rentre dans la forme (2) où les variables se séparent immédiatement. Quand À = 2 elle est de la forme (18) traitée ci-dessus. Dans les deux cas, des quadratures conduisent donc à
fonction maintenant connue, comportant 1 ou 2 constantes arbitraires. Pour avoir w, il ne reste plus ensuite, en vertu de la première équation (22), qu à intégrer g fois par rapport à æ cette fonction w(x). À cet objet on emploiera, si on le veut, la méthode indiquée au n° 50; mais la marche suivante peut être préférable en pratique.
La seconde équation (22), quand L — 1, ou.son intégrale première obtenue comme au n° 65 quand À — 2, sont de la forme
(24) Te = CE et une intégration indéfinie exécutée sur la première équation du
même système conduit à
(25) NAT EN Mode
