CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES

Mais, si l’on substitue à la variable x, la variable p ne à elle pa CA LAN PP par l'équation (23), 1l vient dx — de AD ') dp =

, = . deg cause de l’équation (24), et, pour l’expression de — en fonc- LE

dp à

tion de p, la relation (25) donne

d£s-1u P > Tre=i res dp = Yg-1(p, Gi).

On trouve ensuite de même

L' 12 set CD: CG; ) Ps SE eilo(x), Gildr = fr na le (D; Gi, C2),

et ainsi de suite jusqu’à U —= NE: Gr C», …., Cg).

On obuent enfin w, en remplaçant ici p par son expression en x,

= [ie

intégrale de l'équation (24), renfermant 1 ou 2 constantes arbi-

ürée de:

traires selon que h = 1 ou — 2.

67. Plus généralement, l'intégration d’une équation différenlielle revient à celle d’une équation d’ordre moindre et à des quadratures, ce qu’on exprime en disant que son ordre peut étre abaissé, quand elle ne contient pas la fonction inconnue (explicitement); le nombre d'unités dont son ordre peut être ainsi diminué est son excès sur le moindre ordre des dérivées qui y figurent.

Car l’équation en question

F(& deu d8ttu pe mr )=° \

2 2 2 ?’ dre dxsri dxg+h

peut être remplacée comme ci-dessus par le système

| GATE dx£ que

{ dp AEDIS [r(e 2 res DE) = 0,

où la dernière équation n’est plus que d'ordre A =(g+h)—3g. M. — III. | ,

GS. Par sa combinaison avec l’inversion de la fonction inconnue, l’opération précédente permet d’abaisser d’une unité au moins l’ordre d’une équation différentielle

F du du d£ u F4 es ——— ee amsn ? dx” dx?’ ? dxe qui ne contient pas la variable indépendante (explicitement). Car

les formules propres à l'exécution de l’inversion

du I DEULES & Ni (329*)

dx dx’ ‘dr? Ne du ne contiennent ni + n1 w, et les ordres de leurs seconds membres (par rapport à la nouvelle fonction æ) sont respectivement égaux à ceux de leurs premiers membres (par rapport à l’ancienne fonction «). Cette opération conduit donc à une équation de la forme

F; (u, dx Pa .. nn) = O,

du’ du? Que c’est-à-dire ne contenant pas la nouvelle fonction inconnue x (67).

Quand l’équation proposée ne contient ni +, ni w, on peut évidemment y opérer ces deux abaissements l’un après l’autre.

69. Un autre cas d’abaissement possible par une quadrature, bien moins intéressant encore il est vrai, est celui où le premier membre de l’équation proposée

du de u 26 Fixz,u, —, 3 == )=0 Ur ( Foi 4 ) du d& u dx”? ” dxg Car si, appelant ? une nouvelle fonction inconnue, on pose

fvax

(27) u'—6, ie

est (algébriquement) homogène par rapport à w,

on trouvera, en différentiant,

CHAPITRE III. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ÉLÉMENTAIRES 99 et plus généralement

diu fax , — € V;-:

dxi A y]

où V;, est une fonction composée différentielle de +, dont l’ordre est i — 1 seulement.

Si donc on fait ces substitutions dans l'équation (26), elle

deviendra dx M g—1 Êl | F; (+, Ÿ, do > -- re) — O,

°2 dx dxg-1

en ayant égard à l’homogénéité supposée de la composante F, el en appelant M son degré d’homogénéité. La suppression du facteur exponentiel qui ne peut s’évanouir, réduit cette équation à

F, (x, 0v I SE y , dx’ CE drei 0

qui n'est plus que d'ordre g — 1. Son intégration donnera # avec g — 1 constantes arbitraires. Après quoi, une simple quadrature, en introduisant une gi", fera connaître l’exposant de e dans la formule (27) el par suite u.

Si nous ne savions pas intégrer l’équation du premier ordre linéaire et homogène (39), cette méthode nous permettrait de le faire en nous conduisant d’ailleurs au même résultat.