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dx aux fonctions inconnues u, Ui, ..., Ug, à la variable x, et st (3) DUPAU AU Us. Halte l à
représentent les seconds membres de ses équations intégrales générales résolues pur rapport à leurs 4 +1 constantes arbitraires C, Gi, ..., Cy (891*, IV), l'intégrale générale de l’équation proposée (1) est la fonction implicite u de x, ui, us, ..., Ug, fournie par la résolution de l'équation finie
(4) O(T, li, le, ..., Tg)=o,
où Q est une composante à choisir arbitrairement parmi celles donnant des fonctions composées dont les dérivées premières par rapport à u ne s'évanouissent pas.
I. L'intégrale particulière de l'équation (1) qui, pour æ = x), prend la détermination initiale
(5) UT) + pui NU),
u(0) désignant la valeur initiale de cette intégrale, considérée comme une constante arbitraire, et o{u;,...,u4)une fonction (olotrope) donnée des seules variables paramétriques, s’annulant quand celles-ci prennent aussi leurs valeurs initiales
(0) (0) à: : uŸ, -..,u,, est de la forme
(6) TREAOR RTE ERP PAUSE où v(0) est une fonction olotrope de x, u,, ..., u, et ul), dont
la dérivée par rapport à cette constante arbitraire n'est pas identiquement nulle.
L'intégrale en question est fonction olotrope de x, us, ..., Uy, U(%) en vertu de la théorie générale (364*), (366*), parce qu’elle peut être considérée aussi comme appartenant, au même titre et avec la même détermination iniliale (5), à un système immédiat où «w serait la fonction inconnue, x la variable principale, u1, ..., uy, ul) les variables paramétriques et qui contiendrait la seule équation (1) (Cf. 383”, I).
Le dernier point résulte de ce que pour x = x!°) l'intégrale (6) se réduit à la fonction (5), et qu’on a ainsi
dv(0) FREE 0] O.
IT. Il en résulte immédiatement (307*) que Y(x, u, us, ..., uy), expression fournie pour «(° par la résolution de la relation (6), est une fonction olotrope de æ, uw, ui, ..., u, dont la dérivée par rapport à w ne peut s’évanouir (330*), et qu’ainsi toute intégrale ordinaire u de l’équation (1) est donnée par la résolution d’une équation de la forme
(7) Y(T, LU URL ENT
c’est-à-dire égalant à une constante arbitraire quelque fonction olotrope de x, u, u,, ..., u, dont la dérivée par rapport à u ne s’évanouit pas, jouissant en outre de la propriété de fournir des intégrales pour toute valeur de ul),
IIT. Toute fonction du genre de Y(x, u, u1, ...,"u,)satis® fait à l’équation différentielle partielle à la variable princt-
pale x, aux variables paramétriques u, u1, ..., Ua, d' {00 dy dy dy GE) Peu RE Te
linéaire comme la proposée (1), mais en outre homogène et ne contenant plus dans ses coefficients — À, — À,, ..., — AÀ,, la nouvelle fonction inconnue Y.
Soient
