CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DERIVEÉES PARTIELLES

des valeurs particulières de (10) I El ee 9 0 Ua

pour lesquelles on veut constater que l'équation (8) est satisfaite, et conservons la notation w pour celle des racines de l’équation

UN CRT NN PES le AA FOR: 72 ui prend la valeur u quand on fait qup q (11) MEANS PP AUTE LUS 5 Ug = Ug:

Cette fonction satisfaisant à l’équation (1) comme nous venons de le constater (IT), et la différentiation de l'équation précédente donnant

dy dy dy

(12) ER", SH pal ? Hecers HP RTR us ’ dx dy du: dy duy d'y du du du

elle satisfait aussi à l'équation (8), à condition toutefois que l’on y considère w non pas encore comme une nouvelle variable indépendante, mais toujours comme une fonction (implicite) de x, Ui, ..., Ug. Cela posé, si dans l’équation (8) envisagée de cette manière, on opère les attributions numériques (11), w prend la valeur u. Cette même équation subsiste donc pour les valeurs quelconques (9) des quantités (10) considérées comme les g + 2 variables indépendantes de la fonction .

IL est évident en outre que y est une intégrale ordinaire de l’équation (8); car u étant supposée telle pour l’équation proposée (1), les coefficients À, A,, ..., À, sont tous olotropes pour les valeurs correspondantes de æ, u,, ..., u, et de uw, lesquelles peuvent toutes être choisies à volonté à cause de la relation (5) et de l’indétermination absolue de ut).

IV. Réciproquement, toute intégrale ordinaire y de l’équation (8), dont la dérivée par rapport à u ne s’évanouit pas, procure, quand on l’égale à une constante arbitraire u°), une équation dont la racine u est, quelle que ‘soit ut), une tntégrale ordinaire de l’équation proposée (1).

F4. Vo ; \ dy : A La division de l'équation (8) par — s et la prise en considé-

ration des formules (12) rendent ce point évident.

Ainsi donc, pour obtenir toutes les intégrales ordinaires de l'équation proposée (1), él sufjit de résoudre, par rapport à u, les équations formées en égalant à des constantes arbitraires toutes les intégrales ordinaires de l'équation (8) dont les dérivées par rapport à u ne s’évanouissent pas.

V. Les fonctions (3) sont précisément q + 1 intégrales ordinaires de l’équation (8) dont le déterminant différentiel PET rapport à& U, U, ..., u, n'est pas identiquement nul.

Nous avons fait depuis longtemps cette double constatation (389* et suiv.), (403*, IV).

VI. Toute intégrale ordinaire y de l’équation (8) se réduit à quelque fonction composée des fonctions (3).

Car les g + 2 équations linéaires

ar dr A FAN AU ZAR

SEA ENT ; duo di duy Ag AD dr, dY'; dr, dr,

D du à da TT DE RE ve se ee à à « e ee ee Er eee ete see en — O, dy dy dy

re en A+ el dois ne duy Ay=0,

coexistant ainsi entre les g + 2 quantités 1, À, A,, ..., A, dont la première n’est pas nulle, entraînent l'identité

AE À ONE 4 R dr HA Ou du duy Etedr: dr 2e MO D TR Re aie os2e este NÉE 0:

CORRE Se TR 2 dx duy Rte À a dx duy

en vertu de laquelle (314*) y est fonction composée deT,F,, ..., l, puisque le déterminant différentiel de ces q + 1 fonctions pris