CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES
par rapport à &, u,,..., une s'évanouit pas identiquement (V).
VIT: SE V1, Y, -.., ya sont des intégrales particulières quelconques de l'équation (8), toute fonction composée d'elles,y — DV MY, - 2, Vs) en est une aussi.
Car le résultat de la substitution de y dans l'équation (8) est
évidemment aussi ce qu’on obtient en ajoutant membre à membre,
n ; Fa SV RICO ES 0 dw du) après les avoir multipliés par ——; -—, :.., ——;, ceux de la sub- OY1 dYe dx Sttution de V3, Yÿ», -.., yx respectivement, dont chacun par
hypothèse a ses deux membres identiquement égaux.
VIII. Le rapprochement de ces diverses conclusions assure enfin l'exactitude de notre énoncé; car la fonction composée
CL DR Se NES
ne renfermant, quelle que soit la composante Q, que des intégrales de l’équation (8) (V), (VIT), et pouvant coïncider avec l’une quelconque d’entre elles moyennant un choix convenable de celte composante (VI), l'équation finie (4) (que l’indétermination de Q confond avec ce qu’elle deviendrait par la substitution d’une constante arbitraire à zéro dans son second membre) ne donnera pour #, si toutefois Q est d’une nature telle que la dérivée de son premier membre par rapport à w ne s'évanouisse pas et qu’ainsi sa résolution normale soit possible, que des intégrales de l’équation proposée (1) (IV), et les fournira toutes (IIT).
72. Il est facile, en outre, de trouver la détermination de la composante Q, qui assure à la racine w de l’équation (4) une détermination initiale donnée 8(w4, Us, ..., 4) pour x = xt.
Comme le déterminant différentiel des foncuons (3) par rapport à u, Uy, ..., 4 ne s'évanouit pas (71, V), la résolution normale par rapport à ces g + 1 quantités, des g + 1 équations simultanées
1T (æ0), LUN Ug) EN (13) M (a, u, ui, Ug)= 1 | F,;(æ, u, ui, * Ug)= Ya
est possible, et donne pour elles des fonctions olotropes des qg +1 nouvelles variables y, y, ..., y (307*). Si donc on porte ces
fonctions implicites dans la fonction (14) U— 8(U, Us, ..., Ugh on obtiendra une certaine fonction composée olotrope de , YA TL Xq) - (15) OC Xi ss Xah et 1l suffira de prendre Q — 0. Car la fonction (14) étant évidemment régénérée par la substitution inverse des premiers membres des équations (13) à y, Y1, --., 4 dans l’expression (15), il viendra nécessairement, pour x = x),
OT, Ds, ..., Ty)= tu =eu, ue moyennant quoi, dans la même hypothèse, l'équation (4) devient
U — 4 (Li USER UN 0;
donnant bien u = #(u, Us, ..., u4) comme on le voulait.
13. Les éléments d'indétermination comportés par l'équation intégrale générale (4) sont ceux d’une fonction olotrope arbitraire de g variables, les coefficients de son développement par la série de Taylor si on le veut. La composante Q contient, il est vrai, g +1 variables, mais une infinité de ses déterminations donnent à la résolution la même intégrale w que si l’on tirait cette fonction de l’équation formée, par exemple, en égalant simplement une des fonctions (3) à une fonction composée des g autres seulement. Les éléments dont il s’agit sont donc en nombre illimité. Néanmoins, on peut, comme dans la théorie des équations différentielles totales (394*), en éliminer la totalité entre les équations provenant de la différentiation de l’équation (4), et régénérer ainsi l'équation différentielle primitive (1).
Ces différentiations faites successivement par rapport à +, &,, U2, + .., u donnent effectivement les g + 1 équations
do (Ze dr me) da (Te CAM Ta) da (Te ar 7
dr (ar ‘du dx) ‘ali \ de | du de T ar; \ dr PAC AT AN dr a+ |
( TS ARE = 0, PTT) RTE De ge) . 4 [dre , dTe du
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