CHAPITRE IV. — EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

linéaires et homogènes par rapport aux q + 1 dérivées partielles

da da da —» ——» -.., —— dans lesquelles les éléments d’indé inati a ar,’ ; dr, q nts d’indétermination

de l'équation (4) se trouvent maintenant exclusivement rassemblés. Comme ces dérivées partielles ne peuvent être toutes identiquèment nulles, sans quoi, et contrairement aux prescriptions du théorème du n° 71, celle du premier membre de l'équation (4) prise par rapport à w le serait aussi, il faut que @ déterminant de leurs coefficients dans le système (16) le soit, ce qui donne l'équation

pour résultat de l'élimination voulue. Le développement de © conduit à un polynôme entier en

du du du AC 0 RMC RTE $ AVC: duy

où le terme indépendant de ces dérivées est À déterminant des premiers termes des binômes entre parenthèses dans les équatons (16), où les premières puissances de ces dérivées sont multiphiées par

DNA REA. SN

déterminants en lesquels se change A par la substitution de la file

) ar dr AN (19 NI le AE NON

à ses lignes de rangs 1, 2, ..., g +1 respectivement. En outre, les termes non linéaires, par rapport aux dérivées (18), s’évanouissent tous parce que chacun d’eux contient comme facteur ce que devient À par la substitution de la même file (19) à plusieurs de ses lignes simultanément. Comme enfin A, ne peut s’évanouir (71, V}, l'équation (17) se met sous la forme

qui est identique à (1); effectivement la théorie générale des équations différentielles totales (392*) donne pour le système (2), dont les équations intégrales générales se forment en égalant à

des constantes arbitraires les fonctions (3), les g + 1 identités

dr dr dr ZAR — A A À, = dx STE SRA du: (ITU At 4 dr'; dr, dr, dr, aie A LA : LR AU TSES dx du a du; AVE C1 117 RE ne AM aTy dT y ZAR PRÉC TNA ne RES LTALEE dx du À Tu TEA No FE conduisant immédiatement à A A; A EU 27 = —"W, T — A A9 A, A9 1 , A q

74. La méthode précédente est celle de Jacobi, sauf certaines modifications dans l'exposition. Si nous n'avions dû abréger, nous aurions fait voir qu’elle procure encore l’intégration d’un système immédiat passif et linéaire à une seule fonction inconnue, offrant un nombre quelconque de variables principales. La seule différence consiste en ce que le système auxiliaire (2) d'équations différentielles totales comporte non plus une seule, mais plusieurs variables principales toujours en même nombre que pour le système donné à intégrer. Les choses se passent néanmoins de la même manière, parce qu’il jouit aussi de la passivité supposée au proposé (Annales scientifiques de l’École Normale supérieure, 3° série, t. VIT, 1890).

Équations non linéaires.

75. La réduction mentionnée à la fin du n° 70 a été opérée par Cauchy dans le cas encore où 1l s’agit d’une équation aux dérivées partielles non linéaires, mais toujours unique et à une seule fonction inconnue. En appelant w cette dernière, x la variable principale, et y la variable paramétrique que nous supposerons unique pour simplifier notre exposition, l’équation à intégrer rendue immédiate a la forme

du du\ (1) = brel

CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 109 où f est une composante donnée, et donne lieu au théorème suivant :

On obtient l’intégrale ordinaire u caractérisée par la détermination initiale (2) U=0(y), pour M, en écrivant le système immédiat auxiliaire d'équations différentielles totales

du ; d L L d x x = Je; Ju, q)— CAPE = fy + fu = —fy

aux fonctions inconnues u, q, y de la seule variable x, puis en calculant ses intégrales générales

= UT, Us, gore

G=Q(zx, uw os Fo},

J = H(x, wo, Go; Yu):

contenant comme constantes arbitraires les valeurs initiales indéterminées Uuo, 4o, Jo qu'elles prennent pour x — Xo, puis enfin en portant dans l’équation

u = U[x, v(n), v(n), a] la fonction implicite n de x, y qui satisfait à l’équation (3) J = Hfz, v(n), v(n), a] PONEY DOUTE = Lo.

I. Nous exécuterons d’abord la transformation expliquée aux n® 365" el suivants pour substituer à l'équation proposée (1), non

linéaire, le système immédiat, passif mais linéaire [et régulier

du ERIC U, q); D Sy + fu + La D (4) « du Fa |

comportant, outre w dont y esl devenue une seconde variable principale, la fonction inconnue auxiliaire 4 pour laquelle x est principale et y paramétrique.

Et en appelant y, la valeur initiale choisie pour y, les tie

110 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. tions initiales à annexer à ce système seront évidemment { De T0; H=0(Yo) pour

+ l JE = V0»

JP), pour M FD

IL. Nous transformerons ensuite le système ({) par la substitution = \T—S$;

(G) y = AE, n), où &, n sont de nouvelles variables indépendantes, et A(Ë, n) une fonction de toutes deux, provisoirement indéterminée sauf la condition d’être olotrope dans le voisinage de leurs valeurs particu-

CE à .

lières Ë5(— 20), no donnant Ë5 = Zo, A(Ë5, no) = et dyavoir

’ bd 14 L dh sa dérivée partielle cr non nulle.

Par application de la règle du n° 326*, ou bien à cause des formules |

du dw dw dh

ce Ec 7 ja dodh

\ an dy dn

évidentes pour la substitution (5), exécutée dans toute fonction w de æ, y, cette transformation du système (4) conduit à

du dh d ; :

hu, g)+g pr = f,(E hu, )+ futé hu,q) x 7 dh CES AN + — (2) jé Fate » 4) dé dq < dh dan’ da du __ dh dn — Aidi

En assujettissant enfin la fonction L(E, n), jusqu'ici indéter- UE ape d : :

minée, à annuler le coefficient de 7 dans l’équation de la seconde

colonne, les trois fonctions de £, n représentées actuellement par les lettres w, g, hk devront satisfaire aux conditions simultanées

du dh d Æ JE ou, 9) +9 = 5 hu, 9) ! S dh LA (8) Tale out dE Ts — 400 k, u, q), du dh

an no Tr ce NI ES