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= 70) g=v(n) rs = Éo.

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III. Inversement, 1l est clair que si les trois fonctions w, q, h de €, n satisfont au système (9), elles jouiront de la même propriété pour (8), puis pour (7), et qu’ainsi, en vertu des formules générales (6), l’inversion de la transformation (5) changera w, q en un couple d’intégrales du système (4), w par suite en une intégrale de l'équation proposée (1).

Il est clair, en outre, que la condition initiale (2) sera remplie; car, pour æ = Lo, la première des formules (5) donne EDR ES, et la seconde par suite n — y à cause de la dernière des conditions (10), d'où n5— 79. Ces mêmes conditions (10) donneront REDON IT, V — Vo;

u = (10) = V(Yo); puis pour æ = x, seulement, et cela quelle que soit y, g=v(n)=v (y),

d'où u = v(y) à cause de l’équation écrite dans la seconde ligne

du Tableau (4).

11e TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES.

Pour obtenir l'intégrale voulue de l’équation proposée (1), il suffit donc de chercher celles des intégrales u(E,in) 40880 h(£,n) du système (9), que précisent les conditions annexes (10), de prendre la dernière h(Ë, n) pour construire la seconde formule du Tableau (5), puis d’inverser cette transformation sur la première intégrale u(Ë, n).

IV. Les équations écrites dans la première ligne du Tableau (9) et prises seules, constituant évidemment un système aux différenuelles totales, à la variable unique 6, peuvent être intégrées séparément; et, comme ñ n’y figure pas explicitement, leurs intégrales générales sont des formes

u = UE A qu Q(É, Uo, 0: Ro ); he H(ÉË, Uo, Go; Ro),

Où Lo; 40, Lo représentent leurs valeurs initiales pour CENT par suite des fonctions de n seulement, à déterminer ensuite de manière que l’équation unique de la seconde ligne soit aussi vérifiée et que les conditions initiales (10) soient satisfaites.

Ces conditions conduisent de suite à prendre

W= 8(n), TS =D) ), ho =

#(n) désignant quelque fonction de n se réduisant à (0) pour n = 0. Et, comme pour £ — Ë, on a ainsi

= (n ), JON TA RES d’où

= 26 (0 pr ls

et que la dernière équation du système (9) doit être vérifiée pour cette valeur spéciale de £ en particulier, il faut qu’on ait, quelle que soit n,

par suite 8(n) = v(n) puisqu'on a déjà 8(n0) = Uno). Les intégrales du système (9) répondant aux conditions