CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

initiales (10) ne peuvent être ainsi que

u = U[£, v(n), v'(n), n], (11) HD) 6 (nn), k = H[6, v(n), v'(n), a].

V. La certitude que l’équation proposée (1) possède l’intégrale particulière précisée par la condition (2), combinée avec l'impossibilité pour le système équivalent (9) et les conditions initiales annexes (10) d’être vérifiées par d’autres fonctions que (11), donne à elle seule l'assurance que ces fonctions satisfont effectivement aux équations et conditions dont il s ’agit. Mais

il est facile aussi de constater « posteriori que l’on a bien identiquement

(a) du dh 12 —— —q — —0, dn 1 di seul point dont jusqu'ici nous n'ayons pas fait la constatation directe, sauf pour æ = %5, n quelconque.

Les fonctions (11), satisfaisant aux équations de la première ligne du Tableau (9), vérifient également celles équivalentes de la même ligne du Tableau (8) dont la première différentiée par rapport à n donne

Ed = /5(E À u, 9) Ge + fu hs à 9) Ge

. 4q dh HA Fe h Mdn dE 7 dE dr”

d + fQtE; hu, aise 7.

puis par sa combinaison avec la dernière équation de la même ligne

du &h (13) dE dn EN h, U, 9) Ge + fu Es k, U, DT DCE du)

On a, d'autre part,

d{,dh\ dqdh., æh dE T.) 7 Œ dn 7 ddr’

d’où, en ayant égard à la seconde équation de la de considérée, dh æ&æh

G5) E(a )= PSE de 9) Ge + fu CE ho à 9) De +9 qe

puis, en retranchant membre à membre les équations (13), (14), et appelant À le premier membre de (12), dA Te es h, U; g)A.

La substitution à k, w, q de leurs expressions (11) change fL(E, k, u, g) en une fonction connue F(E, à) de &, n, et l’équauon précédente en

dE = F(£, n)A.

Celle-ci étant du premier ordre, linéaire et homogène, par rapport à la fonction A dont la variable principale & est accompagnée de la variable paramétrique n, on trouvera, en ordonnant le développement de À par rapport aux puissances de (5 — Éo) et en raisonnant à fort peu près comme au n° 41, IV, que son intégrale géné-

rale est de la forme (15) À — Aj(n)Ô(E; 1 );

où Ô(Ë, n) représente une fonction de Ë, n déterminée par la nature de F(Ë, n), et Aç(n) la fonction de n seulement à laquelle doit se réduire À pour 6—6,. Mais, comme les fonctions (11) vérifient déjà l'équation (12) pour 6 = &,, il faut prendre Aç(n)=0 quelle que soit n, moyennant quoi l'équation (15) donne A =o, quelles que soient 6, n, c’est-à-dire l'équation (12) dont nous voulions contrôler l’exactitude.

VI. L’inversion de la transformation (5) donnant = x, h(£, n)= 7, la dernière des formules (11) conduit, pour l’expression de n en #, y, à la racine de l'équation (3) dont yest la valeur initiale pour + = %9. On obtiendra donc l'intégrale cherchée de l'équation (1) en portant cette racine dans la première de ces mêmes formules (11), après y avoir substitué x à €, c’est-à-dire en suivant les prescriptions de notre énoncé.

76. Cette méthode, donnée par Cauchy pour un nombre quelconque de variables paramétriques (son exposition ne différerait de la précédente que par de simples longueurs), s’étendrait facilement, sans aucun doute, comme celle propre à l'équation linéaire

CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 115 (T4, in fine), au cas où, au lieu d’être unique, l'équation (r) serait accompagnée d’autres semblables quelconques mais formant avec elle un système immédiat passif, à une seule fonction inconnue Loujours, mais à plusieurs variables principales. Cette extension, poussée jusqu'aux systèmes immédiats à plusieurs fonctions inconnues, fournirait évidemment la solution générale, toujours désirée, du problème de l'intégration des équations différentielles partielles. Mais elle n’est peut-être pas réalisable.

La même méthode s'applique évidemment aux équations traitées dans le premier paragraphe de ce Chapitre; seulement la transformation préalable que nous avons dû exécuter dans l’alinéa I du numéro précédent devient inutile puisque l’équation à intégrer est donnée linéaire, et une substitution analogue à (5) conduit immédiatement au système auxiliaire d'équations différentielles totales. On retombe facilement ensuite sur les formules de Jacobi, que nous aurions pu ainsi nous dispenser de reproduire si leur élégance n'avait pas légitimé l'usage contraire.

77. Les considérations suivantes se rattachent encore à la théorie des équations aux dérivées parüelles du premier ordre. Etant donnée une équation quelconque de ce genre

du du du (16) Jens ou be, de) à la fonction inconnue w de la variable principale x et des k — 1

variables paramétriques y, z, ..., {, on nomme intégrale complète toute intégrale ordinaire