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fonction olotrope de +, y, 3, ..., t et de À constantes arbitraires U, Q,R, ..., S, fournissant en outre, elle et ses 2 —1 dérivées premières v',, V,, ..., V, prises par rapport aux variables paramétriques y, 4, ..., {, un système de À fonctions dont le déterminant différentiel par rapport à U, Q, R, ...,S ne s’évanouit pas identiquement. S1, par exemple, on nomme x, la valeur initiale de x, puis Yo, 30, ---, to celles des variables paramétriques, puis &o; os l'os ---; So des indéterminées en nombre , ne prenant toutefois que des valeurs tombant avec les précé-

dentes dans les limites où la composante f demeure olotrope, puis enfin w(y, 3, ..., £) une fonction déterminée des variables paramétriques ayant avec ses dérivées premières des valeurs imitiales toutes nulles, on aperçoit immédiatement que lintégrale ordinaire de l’équation (16), caractérisée par la détermination initiale

(18) uo + 9o(Y — Fo) + Fos — 20) +... + So — to) + PV, Z; 0),

jouit de ces diverses propriétés relativement aux constantes arbitraires 4o, Jos l'os +++, So représentant ici les valeurs initiales de l'intégrale considérée et de ses — 1 dérivées paramétriques: Un raisonnement tout semblable à celui du n° 383*, I, utilisé déjà au n° 71, 1, montre effectivement que cette intégrale est fonction olotrope de x, y, 3, ...,{, Uo; Qos + - +, 0. Quant au déterminant différentiel à considérer, 1l ne peut s’évanouir identiquement, puisque, pour # = &9, il se réduit à celui de la fonction (18) et de ses dérivées par rapport à y, 3, ..., 6, c'est-à-dire à 1 évidemment.

Il résulte immédiatement de cette définition que le système

des À équations finies

u—0 (7%, ÿ,3,...,Ët, UF:Q ER a) d=0d,(x, y; 3; ...) À U, (a Je R, rene

(19) ne L, (T7, V, 45 AOL NO ER RES

est déterminé et qu'il peut être résolu normalement par rapport à U,Q,R, ..., S, en fournissant pour elles des fonctions olotropes de w, g,r, ..., s considérées un instant comme À variables indépendantes (307*); il en résulte par suite qu’on peut assigner à ces constantes arbitraires des valeurs telles, que l'intégrale complète (19) et ses À — 1 dérivées paramétriques prennent pour LL, Y = Yo 2 —= 20, . -., t— l desivaleurs anale

l'os ++, lo Choistes à volonté.

18. St dans la première des équations (19), différentiée par rapport à x,

du (20) mars AAA Bite UUO SRE TS DE

CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 17 on substitue à U, Q,R, ...,S d’une part leurs expressions DER Liu) q, 1. As tirées de ces mémes équations comme no ns de l’expliquer, à a d’autr CU LCOT

us veno expliquer, à = d'autre part, l’expres- PODAL el, U,q,T,:..,s)\second membre de l’équation (16), on obtient une identité entre

SR sen CU MT TT dons LS

considérées comme autant de variables indépendantes.

On prouvera effectivement que la relation en question a lieu numériquement pour les valeurs particulières quelconques