CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

En supposant que w, dans les premiers membres des équations (21), représente l'intégrale considérée, l'expression (197) ne peut manquer de reproduire cette intégrale, si l’on y met pour U, Q;..., 5 leurs expressions en x, y, ..., t fournies par la résoluion des équations dont il s’agit. Mais, en différentiant la première par rapport à +, 1l vient

du dv dU où dQ 0 dS — = 0; VAR Are) — ne mit me De: 6 U,Q, 5)+ (70 HN OQ dr |" 08 )?

d’où la relation

d0 dU dù dQ dvndS

se FFT ÉCTNP PMR Ter

ayant heu quelles que soient +, y, z, ..., t.

Effectivement les racines (27) DANO,ARRURRS

des équations (21), quand on les porte dans ARR Er, LU OS) (78),

régénèrent le second membre de l'équation (16), lequel est 1ci identi L égal à # eprésent intégrale d identiquement égal à => parce que w représente une intégrale de

celte dernière équation.

En différentiant ensuite la même première équation (21) par rapport à y, 7 NEC À successivement, puis ayant égard aux autres équations du groupe dont elle fait partie, on trouve immédiatement les nouvelles relations

d dU DU ARE os" OU 4. 0 dx OS dy.

dv dU 0 dQ DE dv dS Pr (28) NUAUst . 00 Me NS da” d AU, © dQ ds | OUR) 00 GT RON 08: dr * ! qe) ; :

Les dérivées 2, 5G' ..s ne pouvant toutes s’évanouir,

puisque autrement et contrairement à la définition de l'intégrale

120 TROISIÈME PARTIE. — QUESTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUES. complète le déterminant différentiel mentionné au n° 77 s’éva-

nouirait aussi, les À équations (26), (28), linéaires et homogènes, par rapport à ces À dérivées, entraînent l'identité

UMA 7 AU dU dx dy ds. MERE dQ dQ dQ dQ de dr ‘de RE ADNIAN: MES dS . ne Dre MOD ROTE

d’où résultent immédiatement des équations finies de la nature de (22) en supposant, pour fixer les idées, que le mineur de ce déterminant, où sont intéressées les Æ(£L) fonctions

(29) VERRE [les dernières du groupe total (25)]et les Æ variables (30) D, ITR

(les dernières de la suite x, y, 3, ..., t), soit -<o, mais que tous les mineurs d’ordres plus élevés soient nuls identiquement (314). dv

0V nières équations (26), (28), est possible et donne, en particulier, :

; fs : : 0) Finalement, la résolution, par rapport à “ais des Æ der-

(31) où U, Q,..., T sont les p — h — k fonctions (23), c’est-à-dire celles de la suite U, Q,...,T, V,..., S qui n’appartiennent-pas au groupe (29), où OÜ, 9, ...,G représentent des fonctions déterminées de æ, y, 4, ..., t. Si, d'autre part, on différentie la première équation (22) par rapport aux variables (30), on trouve les k équations

0Q:; dU 0Q,; dQ 0Q,; ds Le | OÙ de 0Q dv 08 dv 00, AU | On dQ 2 ds

e différant des X dernières équations (26), (28) que par la substi-