CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

dans lesquelles la substitution à « de l’intégrale considérée et l'hypothèse uumérique x = x, changent immédiatement les équaions (34), (36), (35). L’élimination de toutes les variables paramétriques y, 3, -.., é entre les équations (39) est donc toujours possible et conduira, entre U,, Q, ..., S, seulement, à un certain nombre d’identités

CU, Qo, +. +, So) = 0, O2 = 0, ..) Opy = 0

dont les déterminants différentiels des premiers membres, pris par rapport à quelque combinaison de p, des quantités U,, Qo, -.., So considérées un instant comme autant de variables indépendantes, ne sont pas tous identiquement nuls. Cela posé, il est à peu près évident que, pour former les équations (22) qui conduisent à l'intégrale particulière considérée, il faut prendre P = Po; et les composantes Q,, Q:, ..., de leurs premiers nombres, identiques aux fonctions O4, O2, ....

81. Le théorème du n° 79 permet évidemment de dire que moyennant l’adjonction des équations (22) et (24), les premières arbitratres en nature et en nombre sauf la condition d’être distinctes (et de former avec les dernières un système résoluble par rapport à U, Q, ..., S), la formule (34) fournit l'intégrale générale de l’équation aux dérivées partielles considérée (16). On a vu effectivement qu’elle peut donner toute les intégrales particulières (1), et qu’elle ne donne que de pareilles fonctions (IT).

La notion des intégrales complètes et les propositions s’y rattachant s’étendraient facilement au cas d'équations différentielles partielles formant un système immédiat, passif, à une seule fonc- Lion inconnue toujours, mais à plusieurs variables principales. La même extension à un système immédiat quelconque paraîtrail très intéressante s1 elle était possible.