CHAPITRE V. — QUESTIONS DE MAXIMUM ET DE MINIMUM

spéciales de cette fonction qu'il faut chercher les éléments de la discussion.

Mais quand elle y est olotrope, plusieurs conditions nécessaires à l'existence d’un maximum ou d’un minimum en &, b, ... peuvent être formulées.

La formule de Taylor (168*) finit alors par donner

(Ca, b+k, ...)—f(a, b, ...)

cu) | a mo. CE ...)+ RS pr DCR A) en où D} ..(h, k, ...) représente généralement la différentielle totale d'ordre m de f(x, Y, -..), polynôme entier et homogène de degré m par rapport aux accroissements h, k, ... dont les coefficients sont, à des facteurs numériques près, les valeurs, 7-0... , des diverses) dérivées de f(x, y, ...) d'ordre total m, et où M est l’ordre de la première différentielle effective, c'est-à-dire dont tous les coefficients ne se réduisent pas à zéro et qui, par suite, ne s’évanouit pas quels que soient k,

..Cela posé :

I. Zl faut d’abord que le polynôme homogène eD" A. La CASE) ne puisse prendre (pour des valeurs EN de # e Roue des valeurs nulle ou négatives dans le cas du maximum, que des valeurs nulle ou positives dans celui du minimum.

Car en appelant h, k, ... quelque système de valeurs particulières attribuées à A, À, ..., puis e une quantité positive infiniment petite et prenant A—he, Æ—ke, ..., la formule (1) devient, à cause de l’homogénéité de chaque différentielle,

DOG ER DE RK, ...)— fa bTa