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série entière en s, dont la somme a pour signe final celui de

Dh En.) (18) Srdonc cette différentielle pouvait So e des valeurs positives, il en serait de même pour certains accroissements de f(æ,y, ...) et 1l n’y aurait pas maximum; si elle pouvait devenir négative, le minimum serait impossible pour une raison semblable.

IL. Pour le maximum ou le minimum indistinctement, il faut par suite que l’ordre M de cette première différentielle effective soit un nombre pair.

Car si M était impair, et en supposant comme 1l est permis de le faire D? (h, k, ...)<o, cette quantitéet

DATE h, —k, . LY= TMD ARS

a;0;%%. AND TE

seraient de signes contraires (1).

IT. Sr quelque système (h, k, ...) de valeurs réelles de h, k, ... non toutes —0o annule D, .(h, k, ...), il fautensuite que, parmi les différentielles subséquentes, s’en trouve une au moins qui ne s’annule pas pour h=h, k=Kk, ... et que la première de celles jouissant de cette propriété prenne une valeur négative dans le cas du maximum, positive dans celui

du minimum.

Car si toutes les différentielles subséquentes s’annulaient en même temps, 1l résulterait de la formule (2) que, pour k=he, k—ke, ..., f(x, y, ...) prendrait un accroissement nul“et qu'il n’y aurait ainsi ni maximum, n1 minimum.

Si la première de ces différentielles subséquentes qui ne s’annule pas, d'ordre N pour fixer les idées, avait une valeur positive,

la même formule, se réduisant à

Do 20: k,

à \z .. TES f{a+h, b+Rk, ...) (a bre dl ENSECERE

montrerait que certains accroissements de f(x, y, ...) conserveraient le signe +, d’où impossibilité d’un maximum ; si elle prenait une valeur négative, on verrait de même qu'un minimum est 1m-

possible.

IV. Pour le maximum ou le minimum indistinctement, il faut, par suite, que cet ordre N soit encore un nombre pair.

Car pour h=—h,k=—k;. DÉCORS aussi, et DV, (h,k,...)serait toujours la différentielle ultérieure de moindre ordre qui ne s’annulerait pas. Si donc N était impair,

Dh KL.) = (NDS tb one