TROISIÈME PARTIE
PROPRIETES METRIQUES DES LIGNES COURBES
§ i. — Longueur des courbes
Soient :
les équations d'une courbe gauche F, et soient A et B deux points de la courbe correspçndant aux valeurs :
de la variable indépendante. Nous supposons que, t croissant de a à p, le point M (a?, y, z) décrit Tare AB en allant toujours dans le même sens.
Ceci posé, la longueur de Tare AB est donnée par la formule :
(2) arc AB = J \Jx^ -}- y"^ -f- z'^ dt.
où x\ y\ z désignent les dérivées de a?, y, z par rapport à t.
Je ne veux pas, dans un cours élémentaire, m'étendre sur la définition de la longueur d'un arc de courbe, aussi je ne démontrerai pas la formule (2). Le lecteur pourra étudier la démonstration dans le Traité d'Analyse de M. Picard (p. 3 et 12). Admettant la formule (2), nous allons voir comment elle conduit immédiatement à celle qui donne la valeur algébrique d'un arc de F.
Prenons pour origine des arcs un point O de F, correspondant à la
valeur ^j, de^ et soit h un nombre positif; supposons que, t croissant de ^^ — /i à ^Q + h, le point M (a?, y, z) décrive un arc M,Mj en marchant toujours dans le même sens {fig. 9). Ce sens sera pris pour le sen<; positif de Tare M^M,. Pour abréger le langage, nous dirons quelquefois que nous prenons pour sens positif de la courbe, dans le voisinage de Torigine des arcs, le sens des t croissants.
Fio. 9
M étant un point quelconque de l'arc M, Mj, soit s la valeur algébrique de Tare OM, c'est-à-dire le nombre qui mesure la longueur de Tare OM ,
précédé du signe +» si la direction OM coïncide avec la direction positive delà courbe, du signe — dans le cas contraire.
Ceci posé, si M est compris entre O et M,, on a, par ce qui précède :
arc OM = Ç yjx^ + y"' + 2'^^ cït, s ~ arc OM;
au. contraire, si M est compris entre les points O et M,, on a: •
arc OM ^J\lx"^ + y"^ + z'^ dt = —Jsl-Tr^ + y'^ + z'^ dt.
et:
5 = — arc OM.
Donc, dans les deux cas :
t (1) s =z Çsjx"^ + y'^ + z'^ dt.
Nous appellerons (s) Tabscisse curviligne du point M Remarquons, d'ailleurs, que :
c^> = dx^ + dtj^ -f- dz'^
La formule (I) va nous permettre de démontrer la proposition suivante, qui est fondamentale.
Théorème. — Si l'origine O des arcs d'aune courbe n'est pas un point singulier, les coordonées a?, y, z^ d'un point quelconque M de la courbe, situé dans le voisinage du point O, sont développables suivant les puis^ sances croissantes' de Tabscisse curviligne' « de ce point.
Puisque l'origine n'est pas un point singulier (première partie, chap. 1*, § 3), nous pouvons choisir la variable indépendante t^ qui fixe la position d'un point quelconque M de la courbe F, de manière que les dérivées x\ y\ z\ ne soient pas toutes nulles pour t = t^. Ceci posé, considérons l'équation :
(3) szrzif^ u) où :*(/) = f\/x'* + y'* + z'^ di.
Cette équation est vérifiée pour :
t = tQ, «==o;
en outre, la fonction :
<&' {t) = + V^'» + y'* + ^'S ne s'annule pas pour t =2 t^
Donc, nous pouvons appliquer le théorème des fonctions implicites {V. Cours d'Analyse) et dire :
U existe une fonction :
et une seule: i* prenant pour « = o la valeur t = t^; 2** développable en série ordonnée suivant les puissances croissantes de s, pour des valeurs de s suffisamment petites en valeur absolue ; 3^ satisfaisant à l'équation (3).
Effectuons maintenant dans les équations (1) de la courbe le changement de variable défini par (4) ; nous obtenons alors les expressions : de a?, y, z en fonction de l'arc s correspondant à ce point. Ces expressions sont, en verlu d'un théorème connu, développables suivant les puissances croissantes de 5, du moins dans le voisinage de l'origine des arcs.
Remarquons qu'il est très aisé de calculer les coefficients de ^ {s). En
APrLICATIUNS GK031ÉTaiQUES. 4
9$ CHAFTTEE i
0>rame «^^ V^ e«t différent de zéro, ces éqoat^^iis font oMiBaitre les dérivé» de jr 'ji, poor # = o et. par soile. aussi :
Remaiiqcc* — Soit r la raleor absolue de la corde OM : 06:
y = y* + yi* + y»'' + -
Or, quel qoe soit #,
En particulier, cette relation a lieu pour « = o ; donc :
<ît, par suite :
r« = j?2^ A35' + Ai»^ + ...
Donc :
