X-y-bu

y' + Vu

— eu c'u

ou bien :

ou encore :

P + mQ =

en posant :

Remarquons que le plan :

abc

représente le plan tangent au pied M de la génératrice D, sur laquelle le point A a été pris. Le plan :

représente le plan passant par D et parallèle au plan Odt tangent au cône directeur suivant la génératrice Oc? correspondant à D.

Les deux plans P et Q sont distincts ; en effet, s'ils étaient confondus^ le plan Q contiendrait la tangente à la directrice, menée par M, et on aurait :

la surface serait donc développable, ce qui est contraire à Thypothèse.

Ceci posé, on voit que le plan tangent, déGni par (4), varie quand u varie, c'est-à-dire quand le point A se déplace sur la génératrice D. On peut •fiême démontrer que : •

« Tout plan R passant par D est un plan tangent de la surface. »

En effet, Téquation du plan R est de la forme :

aP + pQ = o.

Donc ce plan est tangent au point de la génératrice D, défini par Téquation :

Remarquons que, si le plan R est parallèle au plan Odf, son point de contact est rejeté à l'infini.

Nous étudierons d'une manière plus précise la variation du plan tangent considéré, quand nous nous occuperons des propriétés métriques des surfaces réglées.

. Remarque. — Les considérations qui précèdent mettent en évidence ce résultat.

Théorème. — Les plans' tangents aux divers points d*une génératrice d'une surface développable sont confondus. — Réciproquement, si les plans tangents en tous les points d'une génératrice arbitraire d'une surface réglée sont confondus, la surface est développable.

§ 2. — Surfaces développables

Nous avons déjà vu qu'une surface développable est, par définition, la surface engendrée par les tangentes d'une courbe gauche. — Cette courbe est, pour des raisons que nous verrons à l'instant, appelée Yarêle de rebrotissement de la surface.

Théorème. — La caractéristique du plan osculateur en un point M d'une courbe gauche est la tangente en ce point.

APPLICATIONS GliOMÉTRIQUBS. 3

En effet, soient :

les équations d'une courbe gauche F. L'équation du plan osculateur en un point M de celte courbe est :

Pour trouver la caractéristique de ce plan, il suffit d'appliquer la théorie des enveloppes et la règle de différentiation des déterminants. On trouve alors qu'elle est définie par l'équation (1) et la suivante:

L'équation (2) représente un plan passant par la tangente MT à la courbe F. Donc Fintersection des plans \\) et (2) est celte tangente. Ce qu'il fallait démontrer.

La démonstration précédente serait en défaut si les plans (i) et (î) étaient confondus.

Cette circonstance ne peut se présenter. En effet, si le plan (2) était confondu avec le plan (i),il serait parallèle à la droite de coefficients de direction (o?*', y, z"),^ et, par suite, on aurait en chaque point M de F :

af

et la courbe F serait plane, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Corollaire I, — Une surface développable est Fenveloppe des plans osculateurs de son arête de rebroussement.

Corollaire II. — Le plan tangent en un point quelconque P, pris sur la génératrice MT, est le plan osculateUr en M à l'arête de rebroussement.

Remarque. — Nous conviendrons de dire qu'un cône est une surface développable, dont Faréte de rebroussement est un point. Un cylindre étant la limite d'un cône sera aussi considéré comme une surface développable. — La dénomination de développables^ attribuée aux surfaces

que nous venons d'énumérer, sera complètement justifiée quand nous étudierons leurs propriétés métriques. — Nous verrons, en effet, qu'on peut représenter toutes ces surfaces sur un plan avec conservation des angles et des arcs ; cette propriété est déjà connue pour les cônes et cylindres.

Nous allons maintenant établir une propriété descriptive commune à toutes les développables; propriété que Ton prend souvent comme définition de ces surfaces.

Théorème. — L'enveloppe d'un plan P, dépendant d'un seul paramètre variable, est une surface développable.

Considérons d'abord le cas particulier où le plan P reste parallèle à une droite. En prenant cette droite pour axe des z^ on peut mettre l'équation du plan P sous la forme :

A, B, C étant des fonctions d'un paramètre t. L*enveloppe est évidem* ment un cylindre ayant ses génératrices parallèles à 0^. — Le théorème est donc démontré dans ce cas.

Considérons maintenant le cas général, et soit :

(1) Aa; + Bj/ + Cz 4- D = o

l'équation du plan variable P. Les coefficients A, B, C, D, sont des fonctions de t satisfaisant à la condition :

En effet, si cette inégalité n'avait pas lieu, la normale au plan P res* terait parallèle à un plan (V. première partie, chap. i, § 2), et, par suite, le plan P resterait parallèle à une droite, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Ceci posé, la caractéristique du plan P est définie par les deux équations :

\, Aa:4-B,y + C^ + D = o,

^^ I A'y + B'y + CV + D'=:o.

En vertu de la théorie des enveloppes elle reste tangente à la courbe F, bien déterminée par les trois é(iuations (2) et (3) :

(3) STx + Wy + Cz + D" == o.

La proposition est donc établie dans tous les cas.

Enfin, démontrons encore le théorème suivant, qui justifie la dénomination d'arête de rebroussement, attribuée à Tenvcloppe des génératrices d'une développable.

Théorème. — La section d'une développable quelconque par un plan, passant par un point M de l'arête de rebroussement, présente, en général, un point.de rebroussement au point M.

Prenons pour origine le point M, pour axe des z la tangenle en M à l'aréte de rebroussement F, pour plan des xy le plan sécant et pour axe des a* la tangente à la section.

Soient :

y=zh^z^ b.^z^ + h^z^ + ...

les équations de F dans le voisinage de l'origine ; les coefficients de direction de la tangente à l'origine sont (a,, 6^, 1) ; donc, en vertu de l'hypothèse :

rt| =0, ^1 ^^ o,

et les équations de F se réduisent à :

La section est le lieu décrit par la trace (sur le plan sécant) de la tangente :

\-oo~[Z-z) = {<ia,z + ...) (Z - ^),

Cetle section a donc des équations de la forme :

Y = Ba^^» -h Bgira + ...

Supposons Aj 7^: o; on voit immédiatement, en formant ^^ que le

coefficient angulaire de la tangente à l'origine est j^; donc, en verlu

de l'hypothèse, on a :

Bj = o.

En définitive, la section est définie par :

X = Aj^* + A^z^ + ••• '^ Y == 63^3 4. ...

Supposons encore B3 ^ o, de sorte que :

A2B3 ^ o, et soient par exemple :

Aj > o, Bj > o.

Alors pour des valeurs de z inférieures, en valeur absolue, à un cer-

Fio. 7.

tain nombre positif e, chacun des seconds membres de (i) a le signe du premier terme {/ig. 7) :

La courbe présente donc un point de rcbroussement au point M.

Cette circonstance peut ne pas se présenter si Tune des quantités Aj et B3 est nulle.

§ 3. — Congruences

On appelle congruence rectiligne, ou simplement congruence, un ensemble de droites dépendant de deux paramètres variables. Ainsi les équations :

(1) X=: œ-^-at, Y = y + bl, Z = z + et,

où a?, y, z^ a, b, c, sont des fonctions de deux paramètres u et r, définissent une congruence. Les droites D de la congruence qui passent par un point donné [x^, 2/1» ^\) forment un ensemble d'indétermination nulle ; les paramètres (w, v) de l'une de ces droites sont donnés, en effet.

par les deux équations :

A chaque point M 'p^ q) du plan des xy^ faisons correspondre une droite déterminée :

j x = az + p, a = 9{p,q),

^ ^ f y=bz+q, * = + (/>, 9).

? {Pi 9) ^^ 'I (Pt q) sont des fonctions bien déterminées de p, q. L'ensemble de ces droites constitue une congruence. 11 est clair que la congruence la plus générale est la réunion de plusieurs congruences de cette nature. — Il nous suffit donc d'étudier les congruences définies parles équations (1).

Points et plans focaux, — Surface focale. — A chaque droite D de la congruence (1) faisons correspondre un plan déterminé II passant par cette droite ; soit :

(2) y ^bz — q'-lix — az — p) — 0, X = <p (/), q),

Téquation de ce plan (*). Le plan H dépendant de deux paramètres variables admet un point caractéristique M^ (V, théorie des enveloppes), défini par les trois équations (2), (3) et (4) :

(4) — 1 — ^ r- + A^- r- — T- l-^ — az " p) =1 o,

^ ' oq ^ ôq ôq ^ ^'

Je dis qu'on peut définir la correspondance de manière que M^ soit sur D. En effet, si on exprime que les valeurs de x, y^ z^ définies par (2), (3), (4), satisfont à 1, on trouve:

— 1 — -y r- + A-î r- == O, oq ^ ôq

(<) La quantité \ est précîsdkient le coefficient angulaire de la trace du plan II sur le plan des xy.

et, par suite :

II suffit donc de prendre pour X une racine de :

Les plans 11^ et JI^ (réels ou imaginaires), qui correspondent aux deux racines X^ et X,, seront appelés les plans focaux correspondant à la droite D.

Les points caractéristiques F^ et F, de ces plans sont dits les points focauœ de la droite D.

Soient S, et S, les lieux respectifs de ces points, quand p et ^ varient ; en général, S^ et S^, sont de véritables surfaces; leur ensemble constitue la surface focale de la congruence. D'après la théorie des enveloppes, les plans focaux sont respectivement tangents à S| et Sj aux points F^ et F,. Les droites D sont donc tangentes aux surfaces S| et S,.

Supposons maintenant que S^ , par exemple, se réduise à une courbe et que S^ soit une surface.

Dans ce cas, le plan focal IIi est encore ^11, chap. i, § 4) le plan tangent à S4 passant par la droite D. Les droites D sont tangentes à la sur* face Sj, mais sécantes à la courbe S^.

On examinera de même le cas où S^ et S^ sont des courbes.

Remarquons que la définition adoptée pour les points et les plans focaujt est absolument indépendante de la nature particulière de la sur-» face focale.

Développahles de la congruence, — Proposons-nous de grouper les droites de la congruence de manière à former une développable. On peut poser le problème ainsi :

Quelle doit être la courbe décrite par le point M (p, q) pour que la droite correspondante engendre une développable ?

L'équation du problème est :

c'est-à-dire (6)

da db 0^ rfj

v40 CHAPITRE II .

L'équation (6) montre que :

Il y a donc deux familleé de courbes :

?< (P» S') = an 9i (p. S') = *a,

satisfaisant à la question.

Par un point M du plan des œy passe une courbe de chaque famille. Les tangentes en M sont précisément les traces des plans focaux (*).

Considérons la courbe de la première famille passant par M, courbe que nous représenterons par (X^}. Lorsque M décrit la courbe (z^), la droite correspondante D engendre une développable Jl^. Le plan tangent suivant MD, devant contenir la tangente MT à la courbe (XJ, est précisément le plan focal 11^ {/îg, 8).

Cherchons Taréte de rebroussement de 2^. Le ^ du point de celle arête situé sur D est donné par :

dp

OU, en tenant compte de (5):

«j désigne ici le z du point Fj.

Ainsi la développable S^ a pour arête de rebroussement la courbe de Sj, décrite par Fj, lorsque le point M décrit la courbe (XJ.

{}) Voir la note de la page 38.

§ 4. — Complexes

On appelle complexe un système de droites dépendant de trois paramètres variables.

Ainsi les équations :

définissent un complexe, si a, ô, p, q sont des fonctions de trois paramètres, ou, ce qui revient au même, si a, 6, ;), ç'jSont liées par une relation et une seule :

Celte équation est dite Téquation du complexe.

Par chaque point M de l'espace passe une infinité de droites du complexe; ces droites déterminent un cône, qui est le cône du complexe relatif au point M.

Si ce cône se réduit à un plan, quel que soit le point M, le complexe est dit linéaire; cherchons, dans ce cas, la forme de Féquation (2).

Toutes les droites du complexe, qui passent par le point (p, q) du plan des xj/, sont situées dans un même plan; la relation (2) doit donc être du premier degré en {a) et {b). Les droites du complexe, parallèles à une direction (a, ô), c'est-à-dire qui passent par un point à Tinfinî, doivent aussi être dans un même plan ; leurs traces sur le plan des xy doivent, par suite, être en ligne droite. Donc la relation (2) doit aussi être du premier degré en (p, q)y c'est-à-dire être de la forme :

aap + Kbq + Maq + mp + Pp + Qq + Aa + Ab + Bb + C =z o,

les grandes lettres désignant des constantes. — Ces constantes ne sont pas toutes arbitraires; en effet, les coefficients de direction (a, 6, 1) d'une droite D du complexe, passant par M (a?, y, ^), sont liés par :

Ha {x — az) -f- Ko {y — bz) -|- Ma (y — bz) + N6 (a?— az) -|- ... = o.

Le cône du complexe, relatif à M, étant un plan, cette relation doit être du premier degré en a et ^, et cela quel que soit z^ donc :

En résumé :

« Pour que le complexe défini par Téquation (3] soit linéaire, il faut « et il suffit que cette équation ait la forme :

Aa + Bô -f C + Pi) + Q^ + R (ôp — aq) = o,

« A, B, C, P, Q, R désignant des constantes. »

On peut donnera cette équation une forme plus élégante, en utilisant les coordonnées de Plûcker.

Coordonnées de Plûcker, — Les équations d'une droite quelconque D peuvent être mises sous la forme :

(3) bz — Cf/ = j5, ex — az = q^ ay — hx =.=■ r,

avec la condition :

(4) ap -}- bq -{^ cr =z o.

Réciproquement, si a, b, c, p, q^ r, sont des nombres quelconques satisfaisant à (4), les équations (3) définissent une droite bien déterminée D ; ces six nombres peuvent être appelés les coordonnées plûckériennes de la droite D.

On peut mettre les équations de D sous la forme :

0? = a^ 4- a', y = pZ'\' p',

en posant :

Un complexe linéaire, engendré par D, a une équation de la forme: Aa + Bp 4- C — Pp' + Qa' + R (*p' — pa') = O, c'est-à-dire, en employant les coordonnées de Plûcker : (I) Aa -t^ Bô + Ce -f Pi) + Q^ + Rr = o.

Plan polaire d'un point, — Le plan Tï qui contient toutes les droites du complexe passant par M (a?, y, z) est dit le plan polaire de ce point. Cherchons son équation.

Les coefficients de direction a, ft, c, d'une droite quelconque du corn-

plexe passant par M sont liés par :

Aa -f. B6 + Ce + P {bz — cy) + Q {ex — a^) + R (at/ — bx) = o.

L'équation du plan polaire de M s'obtient en remplaçant a, b, c, respectivement par X — a?, Y — y, Z — 5, ce qui donne :

A(X-a?)+B(Y— y)+C{Z— .y)+P(Y^-Zy)+Q(Za?— X^)+R(Xy— Ya?)=o, ou bien :

(5)(Qz— Ry— A)X+(ftr-P^— B)Y-f(Py— Qaj— C)Z-}-AaT-f-Bî,4-C^=o, ou encore :

(6)(QZ-RY-A>r-f(RX-PZ>-B)y+(PY-QX-C)-^+AX+BY+CZ=o.

Si on a : .

AP + BQ + CR = o,

les plans polaires des divers points de l'espace passent par une droite fixe L, ayant pour équations :

QZ — RY = A, RX - PZ =r B, PY — QX = C.

Le complexe est formé par les droites qui rencontrent L ; on dit que ce complexe est singulier.

Supposons :

AP + BQ + CR ^ o.

L'équation (6) montre alors qu'un plan quelconque II peut être considéré comme le plan polaire d'un de ses points.

La symétrie des équations (5) et (ôj met en évidence la propriété suivante :

« Le plan polaire d*un point quelconque (X, Y, Zj du plan II passe c< par le pôle M (a?, y, z) de ce plan ; par suite, les droites du complexe <i situées dans II concourent au point M. »

Réduction de V équation d'un complexe linéaire, — Le lieu du pôle d'un plan parallèle à un plan iixe Q :

wX + t?Y + M?Z = o, (Q)

est évidemment la droite D défiaie par :

Q^ -^ Ry A Ra; -^ p^ ~ B py ~ Qa?^ C

Celte droite D est appelée (Plûcker) le diamètre conjugué des plans parallèles à Q.

Comme nous n'aurons pas à développer la théorie des complexes linéaires, j'indique dès maintenant une propriété métrique importante de ces complexes.

Si la droite D est perpendiculaire au plan Q, on dit qu'elle est un axe du complexe. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'on ait:

Le complexe n'a donc qu'un seul axe, défini par :

Q^ — R.y - A Kr — Pg — B Py — Qo? — C P - Q - R •

Supposons qu'on prenne cet axe pour axe des z ; on voit aisément que Téquation du complexe se réduit à la forme simple :

kc -\- r =z 0,

L'équation du plan polaire d'un point M [x^ y, z) est alors :

k [Z — z) -\-\y — Ya? = o.

Problème. — Liant donnée la courbe :

trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les tangentes appartiennent à un complexe linéaire donné.

>yous pouvons supposer qu'on ait choisi pour Oz l'axe du complexe,' l'équation de ce complexe est alors :

kc '\- r =1 0.

Il faut donc et il suffit qu'en chaque point M dé la courbe (F) on ait:

kc -\- ay — hx ^=. o,

a, ^, c désignant les coefficients de direction de la tangente.

Celte condition peut se mettre sous la forme :

kdz = xdy — ydx.

Rbmarqxik. — Le plan polaire de M est :

D'autre part, la condition (1) donne :

et aussi :

hz' = xy' — yx'

HZ = xy — yx .

Donc Téquation du plan polaire peut se mettre sous la forme

Ce plan polaire coïncide donc avec le plan osculateur en M.