arc OM
' corde OM '
lorsque Tare OM tend vers zéro.
§ 2. — Cosinus directeurs de la tangente; de la normale principale
et de la binormale
1* Tangente. — Soient:
y=^ yo + yi« + ya**+ •..
les équations de la courbe gauche r, lorsqu'on prend pour variable indépendante la valeur algébrique s de Tare correspondant au point M (•>N Vi ^). Oii choisit comme direction positive de la tangente au point M celle qui correspond aux arcs s croissants. Précisons cette définition.
Fio. 10.
Soit M' un point de la courbe [fig. 10), dont Tabscisse curviligne [s') soit supérieure h s:
La direction de la tangente en M est par définition la limite de la direction MM', quand s' tend vers s. ,
Les cosinus directeurs de MM' sont respectivement :
où r désigne la longueur de la corde MM'. Le rapport positif — ; — a
pour limite l'unité, quand «' tend vers s ; donc les cosinus directeurs de la tangente MT sont donnés par les formules :
.. x' — X ^ y y — y T *' — z a == lim -7 ) p == lim > y = lim -;;
c'est-à-dire :
r^ dy dz
ds ^ ds ^ ds
Remarque. — Considérons sur la tangente MT un segment MA ayant pour valeur algébrique ds.
Les relations :
dx = aûfe, dy = p</s, dz = ^dt^
expriment que dx^ dy^ ds sont les projections du segment ds sur les axes de coordonnées.
2<* Normale principale. — La normale principale en un point M de la courbe F est la normale MN, située dans le plan osculateurcn ce point. Le choix de sa direction positive résulte des considérations suivantes:
Fio. 11.
Par l'origine O des coordonnées (fig. il), menons une demi-droite parallèle à la direction positive de la tangente en M et prenons sur cette droite une longueur Om égale à Tunité. Lorsque le point M décrit la courbe F, le point m décrit une courbe sphérique, qu'on appelle FtWicrtirice sphérique de la courbe F. Cette courbe jouit de la propriété suivante :
Théorème. — La tangente en m à Findicatricc sphérique est parallèle à la normale principale au point correspondant M de la courbe F.
En effet, le plan mOm' est parallèle à la fois aux droites MT, MT' ; il a donc pour limite, quand m' tend vers m, un plan Om/, parallèle au plan II osculateur en M à la courbe F. Donc la droite mi est parallèle au plan II, comme elle est, d'ailleurs, orthogonale à MT ; la proposition est démontrée.
Ceci posé, choisissons sur l'indicatrice sphérique une direction positive quelconque (*), et soit a la valeur algébrique de Tare correspondant au point m. On prend pour direction positive de la normale principale la direction MN|, parallèle à la direction positive de la tangente mL II résulte de là que les cosinus directeurs de MN, sont :
dx c?{J rfv
(^) Il y a avantage & ne pas préciser dans le cas général le choix de celte direction positive ;, voir ù ce sujet le cas où la courbe r est plane (§ 9).
OU, en tenant compte des formules, qui donnent a, 6, y :
iPx ds
*' - d^^'dfi'
d^y ds
Ti
d*z ds ds^ de
3* Binormale. — La bînormale en M est la. perpendiculaire menée parle point M au plan TMN^. La direction positive de la binormale est la direction MN^, telle que letriède (MT, MN|, MN^) ait la disposition directe {fig. i2).
Fio- 12.
ri
Soient ['^2i^2'>1^ ^^^ cosinus directeurs de MN^ ; on a:
En outre, chaque élément est égal au mineur qui lui correspond (pris avec son signe).
Donc :
H = PYi — tPo Pî = ï»4 — *Yo Tj = *?i — P»r
En résumé
dx
d^x ds^ ''ds^'d'i
PYi — Yp4
ds d?y ds ds* d<s
Yi =
= Y3t| —m Yi =
dz
ds'
d^z ds ^ ds^'da'
*Pl — P*4-
§ 3. — Notion de dérivée géométrique d'un segment
Considérons un segment variable (OM), dont l'origine est fixe et dont Textrémité M se déplace d'après une loi déterminée. En d'autres termes, supposons que les projections X, Y, Z du segment (OM) sur
trois axes feclangfulaires Oa?, Oy , 0^, soient des fonctions données d'une même variable u
Soit OM' la position du segment pour u = w' :
Le segment (MM'), qui a pour projections :
\Jt
est appelé Taccroissement ^^omeïnçue du segment (OM), quand la variable indépendante passe de la valeur u à la valeur u'. Ce segment tend vers zéro, quand u' tend vers u, mais sa ligne d'action a pour limite la tangente en M à la courbe lieu des points M.
Fio. 13.
Ceci posé, considérons MP' [fig, 1 3) , qui a pour projections sur les axes :
