MM

Ce segment a une limite bien déterminée, à savoir un segment (MP) dirigé suivant la tangente MT, et ayant pour projections :

Ce segment (MP) est dit la dérivée géométrique du segment OM, prise par rapport à m. — Soit (t Fabscisse curviligne du point M. D'après ce que Ton a vu (§ 2), c?X, rfY, d'L sont les projections sur les trois axes d'un segment, ayant pour ligne d'action MT et pour valeur algébrique dfs ;

donc le segment qui a pour projection l, m, n, a pour valeur algébrique :

MP = ^du

Relation entre les dérivées géométriques de trois segments rectangu^ laires, — Considérons un trièdre trirectangle, ayant pour sommet un point fixe et admettant un mouvement déterminé. Les cosinus directeurs des arêtes sont alors des fonctions déterminées d'une même variable u :

(OM

«1 = fi (w).

(OM

T» = Aj («)•

Considérons les segments directeurs OM, OMp OM^ des trois arêtes; entre les dérivés géométriques MP, MiP^ et M^P^ de ces trois segments existe une relation simple, que nous allons établir {flg, 14).

Fio. 14.

A cet effet désignons les projections des trois segments MP, M^P^, M3P2, sur les trois arêtes du trièdre, comme l'indique le tableau suivant :

Des relations :

tn^

««I + PP. + YTi = o.

on dédaii :

c'esl-à-dirc :

On démontre de môme que:

9n| = o, n, = o, n -\- 1^ = o, n| + Wj = o.

Le tableau (T) est donc un tableau symétrique gauche.

J 4. — Courbure en un point (Tune courbe gauche

Valeur absolue et signe

Soient:

cc = f{s), y=g[s), z=h{s),

les équations de la courbe gauche F, lorsqu*on prend pour variable indépendante Tabscisse curviligne [s) du point M [x^ y^ z).

Soient : 1*^ M et M' deux points de la courbe F {fig, 15) ;

2* Om, Om\ les segments directeurs des tangentes MT, MT' ;

S"" c Tangle de ces deux directions.

On appelle courbure moyenne de Tare MM' le rapport :

,,^., = courbure moyenne, arc MM "^

La limite de ce rapport, quand M' tend vers M, est ce qu'on appelle la valeur absolue de la courbure au point M. Remarquons que :

j , a ' t -. corde mm' ,

corde mm = 2 sm - lim = 1.

Donc la courbure en M est égale en valeur absolue à la limite du

rapport :

corde mm'

arc MM'

On voit donc que la courbure au point M est égale en valeur absolue à la dérivée géométrique mp du segment Om, prii^e par rapport à s. Il est naturel d*appeler valeur algébrique de la courbure au point M la valeur algébrique du segment mp. On peut donc dire :

(( La courbure en M est représentée par la dérivée géométrique du '( segment directeur de la tangente en M, cette dérivée étant prise par « rapport à s. »

D'après (§ 2) la ligne d'action du segment {mp) est parallèle à la nor-

maie principale en M; en outre, sa valeur algébrique tt est donnée (§ 3] par:

désignant Tabscisse curviligne du point m. Les projections sur les axes du segment mp sont :

rfa dj^ rfp d^ dj cPz

ds ds^ ds ds^ ds ds^

Donc on a aussi :

Remarques. — 1** Si on choisit pour direction positive de Tindicatrice sphérique le sens dans lequel se déplace le point m, quand le point M se déplace dans le sens positif de F, l'expression de la courbure est positive.

^ Les formules qui donnent les cosinus directeurs de la normale principale en M peuvent maintenant prendre la forme :

3^ Enfin, si la variable indépendante qui fixe la position du point M sur la courbe F est une variable quelconque /, il faudra remarquer que:

dx œ' cPx s'a^ — a? «*

ds "" *''

et par suite :

§5. — Torsion en un point d* une courbe gauche. — Valeur absolue et signe

Soient 0/n, On^y On,, les segments directeurs de la tangente, de la normale principale et de la binormale au point M de la courbe F [fig. 16).

Soient Om\ On'^, On', les segments correspondants pour le point M'. Enfin, soit vj Fangle des directions 0^2 et On'2. On appelle torsion moyenne de Farc MM' le rapport:

r-jrrjp = torsiou moyonnc.

La limite de ce rapport, lorsque M' tend vers M, est par définition la valeur absolue de la torsion au point M. Comme précédemment, cette limite est la même que celle du rapport :

corde n.^7i\ arc MM'

Donc la torsion au point M est égale en valeur absolue à la dérivée géométrique du segment On^, prise par rapport à 5. La valeur algé-

brique de cette dérivée est par définition la valeur algébrique -^ de la

torsion au point M.

Ainsi :

« La torsion au point M est représentée par la dérivée géométrique « du segment directeur de la binormale en M, cette dérivée étant prise « par rapport à 5. »

Remarquons que le point n^ a pour lieu géométrique, quand 5 varie, la courbe polaire de l'indicatrice; donc, en vertu d'un théorème élémentaire, la tangente au point n, est parallèle à la tafigente en m à Tindicatrice. Nous supposerons la direction des arcs de la courbe polaire choisie de manière que ces deux tangentes aient la même direction positive.

Ceci posé, si y désigne Tabscisse curviligne de n^ :

i dx

T "" ds

et:

Par suite :

ou bien :

d-c = a,c/x2 + p^rfpa + ïi^Yii dr = — Ojrfai — PjC?P| — Ya^Yii

ou encore, en tenant compte des expressions de 04, ^^i T2 *

1 dx T ds

doLf

Y< ^Yi

D'autre

part:

dh/ ds''

Donc:

dx 'ds

dz ds

d^o) ds'

d^y ds'

dS2

rfA«

ds^

Remarque. — La torsion en chaque point d'une courbe plane est évidemment nulle ; nous allons montrer que la réciproque est vraie. En effet, de:

on déduit que le rayon On, reste fixe quand m décrit Tindicatrice ; donc cette dernière est un grand cercle, dont le plan est perpendiculaire à On^. Par suite, les tangentes de F sont toutes parallèles à un même plan, et la courbe F est plane. Ce résultat est aussi une conséquence de la formule (1) et d'une proposition déjà démontrée (V. I, chap. I, § 2).

§ 6. — Cercle oscillateur

Soient M et M' deux points de la courbe F et MT la tangente en M. Construisons le cercle (C) tangent en M à la droite MT et passant par M'. Lorsque le point M' tend vers M, ce cercle a une limite déterminée, qu'on appelle le cercle osculaleur en M.

Pour trouver cette limite, marquons sur la normale principale en M

Fio. 17.

le point r situé à égale distance de M et M' {/ig, 17). Le cercle C peut être considéré comme Fintersection de la sphère ayant pour centre V et pour rayon FM, avec le plan TMM'. Ce plan a une limite déterminée, qui est le plan osculateur en M. Nous allons voir que la sphère a également une limite bien déterminée.

Désignons par p la valeur algébrique du segment MF. Soient :

(M'). X = r{s + th Y = (/(s + 6), Z = h{s + ,),

les coordonnées de M et M'. — On a :

p> ^ (X 0? ça,)» + (Y - y - p?,)» -h (Z - ^ - pY,)»,

d'où :

^ ~ Sa, (X — x) Or, le développement en séries donne :

et deux formules analogues pour Y — y et Z — z. D'où :

(1) lim^^^ = a;', lims('^^^y = a;'» + y'' + ^'» = l.

D'antre part :

«, = Rar', p, = Ry", y, = R*',