OU

Sa, (X — a?) — ^+ ...

Donc :

(2) Hm5a(X:^ = ^.

Les formules (1) et (2) donnent :

lim = R.

Le point Fa donc une limite bien déterminée, à savoir le point f, dont les coordonnées (a, d, c) sont déGnies par :

Ce point est appelé le centre de courbure au point M.

On voit donc que le cercle C a une position limite C bien déterminée. Le cercle C est situé dans le plan osculateur en M, a pour cenlrc le point I et pour rayon IM. Ce cercle est aussi appelé le cerch de courbure au point M .

§ 7. — Formules deSerret

Ces formules ont pour but de faire coanaître les dérivés des neuf cosinus (X, p, Y, a|, p,, 71 , oij, Pj, Ya^ ^^ fonction de ces cosinus et de R et T. On peut les obtenir très rapidement par le procédé suivant :

Soient MT, MN|, MNj, les droites que nous avons si souvent considérées, et qui constituent ce que Ton peut appeler le trièdre de Serrel,

FiG. 18.

relatif au point M (fig. 18). Soient (Om), (OnJ, (Onj), les segments directeurs de ces trois droites, et(mp), (w^pj, (n^p^,), leurs dérivées géométriques. On a vu que mp représente la courbure au point M, que njp^ représente la torsion, et que la ligne d*applicalion de ces segments est parallèle à On^ . L'application du théorème relatif aux dérivées de trois segments rectangulaires (§ 3) montre que les projections des trois segments mp, n^'p^ et njp^ sur les arêtes du trièdre (Om, On,, On,) sont indiquées par le tableau suivant:

mp

On,

Owj

>UPi

WjPj,

En projetant ces trois segments sur les axes fixes, on obtient (§ 3) :

dx 0^ ds R'

^ P., ds- R

EL — 11, ds R

ds ~ t'

dp, p,

rf» t'

ds — T

du,

ds ~

'^f, X ïî.

cfe ~ R T

Telles sont les formules de Serret.

Remarque. — Il est aisé de voir que — est une forme linéaire

de a, *!, «21 ayant pour coefficients des fonctions de R et T et de leurs dérivées. Pour l'établir, il suffit de faire voir que, si la proposition est vraie pour l'indice n, elle Test aussi pour l'indice (n + 1). Soit :

alors :

|^=Aa + Ba,-i-Ca„