OÙ
A -î^ 5 R —^ I A , C ,. dC B
^'"ds *"R' ^' -^ds +R + T' ^' ""5r~T'
La proposition est donc démontrée.
On trouve de même :
§ 8. — Développement des coordonnées a?, y, z d'un point M suivant les puissances croissantes de Vahscisse curviligne [s) de ce point
Prenons pour axes de coordonnées les arêtes du trièdre de Serret, relatif à l'origine des arcs de la courbe F, et supposons connues les expressions de la courbure et de la torsion en un point quelconque M en fonction de l'abscisse curviligne [s) de ce point:
Nous allons voir que Ton peut calculer les coefficients des développements, déjà rencontrés :
(1) â?==a7^»4- a?3«' +... y = y< « +.V2»*+ •••» ^ =-3'4«+-ar,s^ + ... En effet, il résulte des relations :
et de la proposition que nous venons d'établir que r
— 7= A„x + B«*, + C„aa, (3) < g::=A,p + B«p. +C„^,
avec:
En faisant dans ces formules :
et successivement :
on obtiendra les expressions de x„^ y„^ z„ :
On remarquera qu'à Forigine :
* = Pi = ï2 = iî
et que tous les autres cosinus p, y» «p Y4i «a» ?aî sont nuls.
Calculons les premiers coefficients des développements. Les formules (i) donnent:
les formules (4) donnent ensuite :
Aa= o,
Râ' B3 =
RT
rfR.
ds '
de là, on déduit immédiatement :
ce = s
y= ziir —
m. 6Ra
ft 53
Remarque. — Si on a égard à ces formules et à l'indétermination de la direction des axes, on voit que : « Ja courbe F et sa symétrique « sont les seules, pour lesquelles R et T ont les expressions données.»
§ 9. — Cas où la ligne donnée F est plane
Les formules et notions qui précèdent se simplifient particulièrement, quand la courbe F est plane. Nous allons les passer en revue.
Fio. 19.
Soient : M un point de la courbe; 5, son abscisse curviligne ; a? et y
ses coordonnées rectangulaires, et enfin {fig, 19) :
Les cosinus directeurs (x, p) de la tangente MT sont :
dm \ a = COS e =
a = COSe = --r"'
as
p = sine = -f- * dis
Les plans osculateurs de la courbe se confondent avec le plan xoy. L'indicatrice de la courbe F, c'est-à-dire le lieu de l'extrémité m du segment directeur de la tangente MT, se confond avec le cercle trigonométrique ayant O pour centre. Le choix du sens positif de ce cercle est indépendant de la courbe V ; on voit donc qu'il y a avantage, dans la théorie générale (§ 2, n° 2), à ne pas faire dépendre du sens de la courbe F celui de l'indicatrice sphériquc.
La direction positive MN de la normale (principale) en M est celle de la tangente en m ; elle est donc déflniç par :
(T,N) = + | ou: (a,, N) = *+|-
Les cosinus directeurs (a,, p,) de MN sont donc:
(2) Q^< = — sine, p^ = cos e.
La courbure au point M est représentée par le segment 7;ip, dérivée géométrique du segment Om par rapport à s. Cette courbure a donc pour valeur algébrique :
(^^ ÏÏ ^ Is
Remarquons que :
dz = arfp — pf/a :
la formule t3) donne donc :
1 dx d-y dy d^x
ii ds ds^ ds ds^
Supposons a? et y évaluées, non en fonction de s, mais en fonction
FORMULES FONDAMEiNTALES 67
d*une variable indépendanle quelconque t ; alors la formule (4) prend la forme :
1 xY — y'x"
où les lettres accentuées désignent des dérivées prises par rapport à t, La formule (5) est, comme on voit, beaucoup plus simple que la formule correspondante dans la théorie des courbes gauches.
Le centre du cercle osculateur, ou centre de courbure en M, est en un point I de la normale, tel que (V. § 6) :
