MI = R
Ses coordonnées (a?^, y,) sont donc :
(6) 0?^ = a? — Rsine, y, = ?/ + Rcose.
On vérifie aisément au moyen de ces formules que le point I est le point de contact de MN avec son enveloppe.
Si on différencie les expressions (i) et (2), on obtient immédiatement les formules :
' ik ~ R
que l'on peut aussi déduire des formules de Serret, en supposant la torsion nulle. Nous avons vu, en effet {% 5), qu'en chaque point d'une courbe plane la torsion est nulle, et réciproquement.
Enfin, si l'on rapporte la courbe aux axes MTet MN, on trouve (§ 8) :
Ces formules montrent que le centre de courbure I est du même côté que la courbe par rapport à la tangente MT, du moins dans le voisinage du point M.
Remarque. — Revenons aux anciens axes Ox et Oy et supposons les coordonnées a; et y de M évaluées en fonction d'une variable quelconque t. Prenons pour sens positif delà tangente en M le sens des
ds
dr,
ds
croissants ; alors dans la formule (5) :
et le signe de R est celui de : (oc'y" — .v'-^')- Donc, si:
la courbe est concave au point M vers la normale positive; elle est co7ivexe dans le cas contraire.
APPLICATIONS DES FORMULES FONDAMENTALES FORMULES RELATIVES A LA VARIATION D'UN SEGMENT
§ 1. — Problème I. — Déterminer les courbes gauches pour lesquelles la courbure est constante, ainsi que la torsion. Soient :
les équations d'une courbe F, pour laquelle :
Prenons pour inconnues auxiliaires les cosinus du Irîèdre de Serret relatif à un point quelconque M de la courbe. — Les cosinus a, a^, aj (nous conservons ici les notations du chapitre précédent) sont liés par les relations :
dx.2 a,
ds 11'
ds - K T'
ds T
De là on déduit, en éliminant a et a^ :
iPtj^ ^ J L a L
ds^ — — K'i' ^^^^ • K^ "" IV "^ T^'
Donc a^ est une intégrale de l'équation :
Il en est de môme de p, et y,. — Donc :
a. = A 008 77+ Bsinr7 = RT'»
* K ' K ds
p, = A'cos^4-B'sin^rzz R J, Y, = A"cos^ + B''sin^ = R^• Comme on a identiquement :
on doit avoir :
A» + A'» + k"* = B« + B'* + B"» = 1, AB + AB' + A'B" = 0.
Les cosinus a, p, y, sont par suite donnés par :
AK . « BK « CK * = -jT sin jT îT cos ^ -1 — ^>
,,, , „ AK . « B'K s , CK
(I) p = -j,- sm^ — -5- cos jT + -^ ,
rK . £B^ ± R '''"k r °*'*K ' T
où les constantes C, C, C" sont assujetties à satisfaire aux relations : AC -f A'C + A'^ = BC -f- B'C + B'C" = 0,
Les cosinus du trièdre de Serret sont déterminés. Les équations (1) fournissent immédiatement a-, y, s, puisque :
dx d^ d£
^"~"*' ds'~'^' dl'"^'
En désignant par a, ô, c, a\ h\ c\ d\ V ^ c", les neuf cosinus d'un trièdre fixe :
^ = ^0 + ^^^K + ^y\ + ^-n (2) ^ y = ^0 + ^'«^i + ^'Vk + ^'-i>
>3' = -0 + ^'^\ + ^^'Vi + c"- 1 1
APPLICATIONS DES FORMULES FONDAMENTALES
avec:
a;, = -jô cos j^>
-3^1 — rp ^»
Les équations (2) de la courbe F montrent que, par un déplacement convenable de cette courbe, on peut la faire coïncider avec Thélice définie par les équations (3).
Ainsi : « Une courbe pour laquelle la courbure est constante ainsi que la torsion est une hélice tracée sur un cylindre de révolution. »
Si on pose :
on voit que les équations (3) prennent la forme :
a?, = -p- cos <!» y, = -p- sin m > -i =
2 — Ra • T^*
Remarque. — Si R et T ne sont pas constants, mais si :
la courbe F est encore une hélice, mais cette hélice n'est plus tracée sur un cylindre de révolution. Cette proposition, due à M. Bertrand, est une conséquence immédiate des formules de Serret ; je laisse au lecteur Te soin de le vérifier. Nous serons plus loin conduits tout naturellement à ce théorème.
Problème IL, — Déterminer les coiirbes planes pour lesquelles la
FiG. 20.
courbure en chaque point M est une fonction donnée de Tabscisse curviligne s de ce point :
Soit F une courbe satisfaisant à la question {fig. 20). Prenons pour
axe des x la tangente à Torigine (o) des arcs de la courbe F, pour axe des y la normale en ce point. Cherchons d'abord Fangle t :
On a vu que : donc, par suite du choix particulier des axes
=J (p [s) ds.
Ceci posé, les coordonnées a; et y du point M sont déterminées en fonction de ^ par les formules :
dœ dy
-p = cos e, -f- = sin c;
ds ds
d*où Ton tire :
x = f cos ec&, y = / sîn tds.
On voit que la forme de la courbe est complètement déterminée. Cette proposition est, d'ailleurs, un cas particulier d'un théorème établi plus haut (chap. i**", § 8).
§ 2. — Formules relatives à la variation d'un segment (1" groupe)
Soient : u la valeur algébrique d'un segment MMi, ayant pour ligne d'application la droite D {fig, 21);
a, ô, c, les projections sur les axes du segment directeur Od de la droite D ;
X, y y z, les coordonnées du point M.
Nous supposons que ces sept quantités sont fonctions d'une même variable indépendante (^); le mouvement des points (M, M^, d) est alors complètement déterminé. Désignons les trajectoires de ces points res-
APPLICATIONS DES FORMULES FONDAMENTALES
pectivement par S, S^ et S, et les directions positives des tangentes en
FiG. 21.
M, M|, dy par MT, M^T| et de. Enfin, posons :
6 = 0«f, MT,
e = dc^ MT,
0,z=Oé^,M,T,, t^ = cfe, M|T,.
Ceci posé, les coordonnées a?^, y^, z^, da point M| sont définies par
œ^ =z X -\- au,
z^ =: z '\^ cil.
De là on déduit en dilTérentiant
(/.r^ = dx -{- adu -}- uda,
dy^ = e/y 4" ^^'^ "+- ^^^^ cf^^ =1= rf^ -|- cdu -\- udc.
L'interprétation de ces formules conduit à des propriétés infinitésimales curieuses du mouvement considéré. En eiTet, résolvons les équations (1) par rapport kdu et u :
du = Hadx^ — Hadx,
a {da^ + db^ + dc^) = Hdadx^ — Jldadx.
Soient *, «, et a les abscisses curvilignes respectives des points M, Mf eid. Les formules (â) donnent :
ou bien :
du =
udts
, , dxt „ dx ds,2la -— — ds^a -^-j ' cw, ds
-, ^da dx. , „ da dx ' ac ow^ dfs ds
du = rf5^ cos 6^ — ds cos 9, (I)
uda = ds^ cos ^^ — ds cos s. (II)
Ces deux formules jouent, comme on le verra, un rôle important dans beaucoup de questions relatives au déplacement d'un système de deux points. La première est, d'ailleurs, bien connue.
Enfîn, Télimination de u et du entre les équations (i) conduit à la relation :
où :
Ids^ = l^ds^*,
da dx d$ ds
- db dy
di ds
de dz
ds ds
da dx^
ds^ ds^
, rfô d^/^
ds^ ds^
de dz^
ds^ ds^
Comme les relations (ï) et (11), la relation (111) exprime une propriété indépendante des axes de coordonnées.
Pour le faire voir, désignons par :
A, |x, V, les projections, sur les axes de Serrct relatifs au point M, du segment directeur Od\
A, B, C, les projections, sur les axes deSerret relatifs au point M, du segment [de) dérivée géométrique du segment Od par rapport à s. Alors:
da
dx
= ^^^ + !^*< + ^^2» 7/: = Ax + Bx< + Catj, — =
ds db
ds dy
6 = X? +{xp, + v8„ ^=Ap + Bp, +Cp,, ^
= Ay + By< + Cra, ^
^ï + t*Yi -h VY21 ^
APPLICATIONS DES FORMULES FONDAMENTALES
et
par
suite :
ïi
Ti
= Cul — Bi
Cette formule montre que I est indépendant du choix des axes Ox ,
De môme, soient :
X^, fjLj, V,, les projections sur les axes de Serret, relatifs au point Mp
du segment Od ;
Ap BpCp les projections sur les axes de Serret, relatifs au point M, de la dérivée géométrique de^ du segment Orf, prise par rapport à s^ .
On trouve :
Il = Ql^i — B^vp
Les formules I, II, III, quand on introduit les quantités X, a, v, A,, Bp C, Xp... deviennent :
La deuxième formule résulte de ce fait que :
da 4 d(s .
-cose=A, -cose,=A,.
Remarque 1. — Evaluons A, B, C, au moyen de X, ia, v. Si on différentieles formules(>i), qui donnent les expressions de a, 6, c, enfonction de X, |x, V, et si on tient compte des formules de Serret, on trouve les formules suivantes, dont nous ferons un grand usage :
k ' d\ UL
rf« ^ R ^ T
^ = ds-T'
A/ + Bfx + Cv =t= 0.
Remarque II. — L'expression différentielle Ids^ a une signification géométrique simple que je ne fais qu'indiquer. Soit WD' la position de la droite MD (Jîg. 22i, correspondant à un accroissement ds de l'abscisse curviligne s du point M. Soit M'P' un segment équipollent au segment
Fio. 22.
directeur de la droite D'. Si on prend ds pour infiniment petit principal, le moment du segment M'P' par rapport à la droite D a pour terme principal Ids^, N'ayant pas à utiliser cette proposition, je laisse au lecteur le soin de la démontrer. On utilisera à cet effet la formule (3). La signification de lids^^ est analogue.
§ 3. — Formules relatives à la variation d^un segment (2* groupe)
Soient H et H^ les valeurs algébriques respectives des segments de et de^ ; les deux expressions de da :
d<s ^^ Hf/^,
d(5 ni- H^ds^^
montrent que:
D'ailleurs :
ilds = Il ^ds^.
