I) (") (IH

(iV)

du-

uda^ =

(C;x — Bv) ds'^ :

( da:

) Ids^ :

X ^ f/s I — Ids, A^ds^ — Adv^, (C,a^ — Bv|) ds^^, Hds = H^^A'?!, A,r/5Î, Hî = A? 4- B? + Cf

Remarquons que la formule (II) peut aussi prendre la forme

(II bis)

Toutes ces formules nous paraissent fondamentales.

HeMAB^rES. — i^ Examinons dans qnel cas l'un des inyariants UdSj

Uh^^ ^Jjs* est nul. Si :

if est clair que la droite D reste parallèle à une direction fixe 'car

Si:

]a droite D reste parallèle à un plan V. 1, cliap. i*', ^ 2 . Enfin, l'expression de I chapon, i â^ montre que, si :

la droite D engendre une surface développable. Il est évident, d'ailleurs, que les réciproques de ces propositions sont exactes.

Fio. 23.

2* Si, dans toutes ses positions, la droite Dest constamment tangente à la trajectoire S du point M '/V/. 23), on a évidemment :

cos e = o,

Mais il faut observer que la réciproque n'est pas vraie.

Si A est nul, la droite D n'engendre pas forcément une surface développabhi. Nous verrons plus tard (surfaces réglées) la signification géométrique de la relation :

§ 4. — E,cpression parliciflière du délerminanl A

Multiplions le (lotorminant A par le suivant :

APPLICATIONS DES FORMULES FONDAMENTALES

Nous trouvons, en tenant compte des identités :

AX + BjjL + Cv = 0, Al + BV + Cv =z — H».

1 — Xa — AX - H2 - A X Cjji — Bv C> — B'v

c'est-à-dire, en revenant à la notation :

I = C{x — Bv,

A (1 — X2) z= I (A' + XH2) - A (C'|x — B'v).

D'autre part, les formules qui donnent A', B', C (paragraphe précédent) montrent que :

,, dA B ds R

r^. n' d\ ex — Av

C{x~Bv = -- + .

ds

Par suite :

A(t-X*) = lf -a| + H«(J + Xi).

Cette expression simplifiée de A peut être utile. Remarques. — I. Si on a :

c'est-à-dire si la surface est dé\eloppable, la formule précédente se simplifie et donne :