PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES SURFACES RÉGLÉES

§ 1. — Préliminaires

Nous désignerons dans la suite par :

r la directrice d'une surface réglée quelconque S [fig. 23) ; MD, la génératrice passant par un point quelconque M de la directrice ; Oc?, le segment directeur de MD ;

>, [X, V, les projections du segment Od sur les axes de Serret MT, MNf , MN), relatifs au point M ;

s^ Tabscisse curviligne du point M.

La surface S est complètement déterminée, si on donne la courbe F ainsi que les expressions de X, [jl, v en fonction de [s) :

Nous dirons que les équations (1) sont les équations intrinsèques de la surface S.

Les coordonnées superficielles d'un point P de la surface situé sur la génératrice M D sont :

i"" L'abscisse curviligne [s) du pied M de la génératrice ;

^ La valeur algébrique (u) du segment MP.

Le cône engendré par Od est dit 'comme on sait déjà . le cône directeur de la surface S.

FiG. 26.

Nous désignerons par Oe (fig, 26) la direction de la tangente à la trajectoire du point d et par 0/*la direction de la perpendiculaire au plan dOe, Cette direction O/* est supposée choisie de manière que le tpièdre (0(i, Oe, Of) ait la direction directe.

Enfin ^ les notations employées dans t élude de la variation d'un segment sont toutes conservées ici.

§2. — Point central. Ligne de striction

Nous avons vu [W partie) qu'un plan n quelconque, passant par MD, est tangent à la surface S en un point et un seul. Parmi les plans II, il y en a deux qui ont évidemment une situation bien particulière relativement au cône directeur, ce sont : le plan n,, perpendiculaire au plan dOe^ ou parallèle au plan dOf^ et le plan n., parallèle au plan dOe. Le second a son point de contact rejeté à Tinfini (II® partie) ; le premier a son point de contact en un point de D qu'on appelle le point central de la génératrice D.

Ainsi, pour construire le point central de D, il suffit :

i** De construire le plan normal au cône directeur suivant la générairice parallèle à D ;

2° De mener par la droite D un plan 11^ parallèle à ce plan normal.

Le point de contact de n^ avec la surface S est le point central cherché.

Le lieu des points centraux est appelé la ligne de slriclion de la surface S.

Cherchons Téquation de cette ligne (en coordonnées superficielles). A cet effet, soit M^ un point de D ; supposons que les coordonnées m et s de ce point soient liées par :

Lorsque M décrit la courbe F, le point M, décrit une courbe F,. Appliquons la formulo fondamentale (III' partie, chap. ii, § 2) :

ud(s^ = A^ds^ — Ac?5', ou bien :

W Hf

au mouvement du segment MM,. Pour que le point M, soit le point central de D, il faut et il suffît que la droite Oe soit perpendiculaire à la tangente M,T, de la courba ^^, c'est-à-dire que:

Alors :

Ainsi lequation de la ligne de striction est :

A2 -}-B2 +Ca

Pour que la directrice soit ligne de striction, il faut et il suffit que A =i o.

§ 3, — Théorème de Chasles rekilif aux plans tangents de S

Nous nous proposons d'étudier comment varie le plan tangent au point M, quand le point M décrit la droite D. Par Od[/îg. 27) menons un plan parallèle au plan tangent TMD et soit Og la trace de ce plan sur le plan eOf, Cherchons Téquation de ce plan en prenant respectivement pour axes des .r, y^z^ les droites O^/, Oe, Of (évidemment indépendantes de la position du point M sur la droite D). A cet effet, formons le

CHAPITHE I

tableau des cosinus directeurs des droites Od, Oe, Of par rapport aux

Fio. 27

axes de Serrct relatifs au point M.

Or/

MT

MN

MN

Oe

Of

Cu Bv

Av — a

BX — Aa

Donc les cosinus direcleurs de M T relativement aux axes Od^ Oe, 0/", sont :

Çg — Bi

et réquation du plan dOg est :

Cu. — Bi

Cette équation a un sens, car :

Cul — Bv >^ o.

Nous supposons, en effet, que la surface est gauche et non développable (§ 3, chap. II, III" partie).

Si ^ désigne l'angle de Oy avec la trace O/7, on a donc :

rot "L "— • — •

^^'^ Cul — Bv H»

D'autre part, soient M| un point quelconque et F^ une courbe quelconque de S passant par M^ ; on a en vertu de formules démontrées (III* partie, chap. II, § 3) :

(Cul - Bv) ds^ = (C,f., - B,v,) dsl

Donc :

IP

Ca — Bi

K étant une quantité indépendante de la position de M sur D. Enfin, si P est le point central de D, on a vu que :