PM

p = PM = A,

et, par suite, on trouve la formule suivante, due à Chasles :

cot ^ = K.p.

Cette formule montre que, si p varie de — 00 à -f- x , le plan tangent tourne toujours dans le même sens et vient se confondre successivement avec tous les plans passant par la droite D. Nous retrouvons que pour p infini le plan tangent est parallèle au plan des ay, et que pour p = o le plan tangent est parallèle au plan des j^x.

La quantité K porte le nom de paramètre de distribution de la surface relatif à la génératrice D.

Remahque. — Le tableau des neuf cosinus, que nous avons formé dans la démonstration précédente, montre que :

c'est-à-dire, avec notre notation habituelle :

S 4. — Expression (fun élément d'arc de la s*f^face

Considérons la courbe définie par Téquation [fig, ^):

Nous allons calculer la différentielle ds^ de Tabscisse curviligne (.^i) d*un point M|, situé sur la courbe.

Première méthode. — Les coordonnées cartésiennes a?, y, z du point M| sont données par :

De là on tire :

I dœ^ .=z dx -|- uda -f- adu^

' dy^ T=z dy -\- ndb + hdu^

( dz^ ^n dz '\- udc -f- ccfw, et, par suite:

ûfe? = cfc'» -f w«HV«* -l-2uSrfarfa?+ ^duJladx + du» ; mais :

Xdadx = Ac?5*, Sarfo? = \ds ; donc :

cfef =z (1 -f 2Am + H-»M«) (^s» + "iXduds + c?u*. Deuxième méthode^ — Les formules relatives au déplacement du

segment MM| donnent :

Ie&«

ds^ • ds}

Portant ces expressions dans :

Iî+Aî = (l-XÎ)HÎ, on trouve immédiatement :

^1 /^ L w M . P + [uO} + A)» , , dsj = (rfw + Xdsy -j ' ^ „a ^ ûfe*,

c'est-à-dire :

c^sj = {du 4- Xcfe)» + (1 — X» + 2Am + H^u») flîj'.

Cette formule est évidemment équivalente à la formule déjà trouvée. Supposons, par exemple, que la courbe donnée soit une ligne coordonnée :

Alors :

rf^î = (1 4- 2Am + H«M«) ds^ .

Remarque. — Nous prendrons comme direction positive de la courbe :

le sens dans lequel se déplace M^, quand le point M se déplace dans le sens positif de la directrice. Alors on aura :

ds. ^

§ 5. — Courbure et torsion d'une courbe tracée sur la surface

Soit:

(1) ti = ?{s)

Féquation d'une courbe tracée sur S {fig, 29) ; proposons-nous de calculer la courbure et la torsion en un point quelconque Mf. Nous supposerons toujours

la surface définie par ses éqna lions intrinsèques. Le calcul précédent fait connaître dst :

Ceci posé, considérons le tableau des cinq formules relatives au déplacement du segment MM| :

(I) du = À^rf.s, — Àrfs,

(II) « = ïï^~ê'

(III) hds^i = Ws«,

(IV) H|rfs4 = Hds,

(V) ^^ds\ = ^ds*.

Les quatre premières formules font connaître I|, H|, X| et A^.

Enfin, la formule (V), si on se reporte à l'expression de A (III* partie, chap. ii, § 4), devient:

et fait connaître r;*- :

L*équation :

conséquence immédiate de la défmition de A^ fait connaître le rapport ^• D'autre part :

Donc on pourra déterminer les trois quantités [L^, v<, R|, au moyen des équations (2), (3), (4).

Il résulte du choix du sens positif des arcs que X^ a une valeur unique ; quant à \L^ et v^, ils ne sont déterminés qu'en valeur numérique, résultat facile à prévoir.

Reste à calculer la torsion ^^, A cet effet, remarquons que les équations :

permettent maintenant de calculer B^ et C^, On pourra donc déterminer T au moyen des équations:

^ + Ii

ds^ T/ ''^ "" cZs< "^ R< "^ T/

qui sont fondamentales dans cette théorie.

Connaissant réquation(l) de la courbe donnée F^, on sait donc calculer, en chaque point M^ de cette courbe, les huit quantités X|, [k^, v^, A|, B^, C|,

§ 6. — Application à tin problème de M, Bertrand

Proposons-nous d'appliquer les formules précédentes au problème classique suivant :

Problème. — Chercher s'il existe une courbe gauche F, dont les normales principales soient aussi normales principales d'une autre courbe F^.

Soit S la surface réglée, formée par les normales principales de F. Les équations intrinsèques de S sont :

X = o, {*=!» v=ro.

Tout revient à chercher s'il existe sur S^ une courbe F< :

telle qu'en chaque point Mf (m, s) correspondant au point M (o, s) on ait :

Pour résoudre cette question, il suffit, d'après ce qui précède, d'exprimer que les équations qui déterminent 'k^ et v^ sont satisfaites quand on y suppose :

On obtient ainsi :

(2) 0)2 (I^rfA^ — Aidlt) =: IrfA — Adl,

La première montre que F^ a une équation de la forme :

L'équation (2) fournit la condition nécessaire et suffisante, à laquelle est

assujettie la courbe F, pourvu qu'on remplace I{, A| et b> par leurs valeurs en fonction des éléments de F. Ce dernier calcul peut être dirigé ainsi. Remarquons que :

coîR^ = H».

D'autre part, Tidenti té générale :

P + A> = (1 — vî)H>n:

donne ici :

L*équation (2) équivaut donc à :

ou encore

ItdAj ~ X^d\^ IdA — AdI

I I + aA

ou enfin :

mH» + A ~" A — al'

Hais si on tient compte des équations intrinsèques de S, on trouve :

La condition cherchée prend donc la forme :

Il faut donc et il suffit que la courbure et la torsion soient liées par une relation linéaire à coefficients constants Ç, t] :

Si cette condition est satisfaite, Téquation de F^ est :

(*) Cette identité, que nous avons déjà rencontrée, est une conséquence immédiate de ridentité de Lagrange

(Cil — Bv)s + (Gv + B|x)s = (B« + C») (|a« + v«).

SURFACES DÉVELOPPABLES

§ 1. — Préliminaires

Considérons une surface réglée ayant pour directrice la courbe F et engendrée par la droite MD {fig. 30). Soient :

1ns équations intrinsèques de cette surface. Nous supposerons dans la

suite que cette surface est développahle. En chaque point M de F, on a donc, en conservant nos notations habituelles :

Bv — Ca = o.

Proposons-nous de chercher Faréte de rebroussement de cette surface. Soient :

(rj

Féquation d'une courbe F4 , tracée sur la surface, et M^ le point de cette

9i CHAPITRE II

courbe situé sur D. Tout revient à déterminer ^ de manière qne la tangente M,T| à la courbe T^ soit confondue avec MD.

1^ condition nécessaire et suffisante pour que M^T| se confonde avec MD est :

Hn effet, cette condition est évidemment nécessaire ; démontrons qu'elle est suffisante. Si A, est nul, l'identité :

A», + (B,v, - C,.u,)« = H«, (1 - À»,), donne :

Donc en chaque point M| de F la tangente est dirigée suivant M|D. Ceci posé, la formule fondamentale:

— Aj a

appliquée au segment MM|, donne :

Telle est Téquation de Faréte de rebroussement.

§ 2. — Développées dune courbe gauche

On appelle développée d'une courbe gauche F une courbe F^ dont les tangentes sont des normales de la courbe F. Pour déterminer les développées de F nous sommes donc conduits à résoudre le problème suivant :

Problème. — Construire une développable passant par la courbe F et dont les génératrices soient normales à F.

Les équations intrinsèques de la surface sont de la forme [fig. 31):

(i) X = o, ^=ig[s\ v=h{s),

avec :

(2) Bv — C|X = 0, JX^ + v2 = 1.

Les équations (2) vont nous permettre de calculer [jl et v.

SURFACES DEVELOPPABLES

En effet, si à ces équations on adjoint Tidentité :

AX + Bjx -}- Cv = o, ou : Ba -j- Cv = o,

Fio. 31.

on voit immédiatement que la première équation (2) se décompose en

deux :

c'est-à-dire :

(3) Posons :

du.

rfv

ds

ijt, = cos cp,

V = sm ^,

Alors on voit que les deux équations (3) se réduisent à une :

ou bien : <p = f =? -f <p^.

Il y a donc une infinité de développables satisfaisant à la quoslion. Ces développables forment une famille à un paramètre f^.

Ainsi, la courbe F a une infinité de développées, à savoir les arêtes de rebroussement des développables, que nous venons de trouver.

Soit r, Tarête de rebroussement de la développable, définie par:

Cherchons l'équation de r,. Il suffit d'appliquer la formule du (i; 1)

qui donne ici :