A UN PARAMÈTRE

§1. — Enveloppe d'une famille de droites à un paramètre

Supposons que, dans les équations générales d'une droite :

(D) X=zx + at, Y = y + ô/, Z = ^' + et,

on remplace les coefficients û?, y, j, a, b, c, par des fonctions données d'un paramètre (s) :

On dit que les droites D, qui correspondent aux diverses valeurs de «, constituent une famille de droites à un paramètre (s). La surface, engendrée par la droite variable D, est appelée une surface réglée. La courbe F définie par les équations :

est dite une directrice de la surface ; le point M de la génératrice D, situé sur la directrice, est dit le pied de la génératrice {fig, 1).

FiG. 1.

Ceci posé, il peut arriver que les droites D aient une enveloppe, c'està-dire soient tangentes à une même courbe ^^, Dans ce cas, on dit que

la surface réglée est développable. Cherchons à quelle condition doivent être assujetties les fonctions données a^ 6, c, x, y, z pour que cette circonstance se présente.

A chaque droite D, de paramètre s, faisons correspondre un point M| situé sur D, la loi de correspondance étant définie par :

Nous sommes amenés à résoudre cette question : Peut-on déterminer la fonction 9 de manière que la tangente en M, à la courbe F^, lieu du point M|, coïncide avec M^D ? Les équations de F^ sont :

(F,) a?^=a; + ajp, y^ = y + 6(p, z^ z= z + c:^,

La tangente en Mi a donc comme coefficients de direction : dx -f- ctd^ -f- ^c?a, dy -f- ^^9 + «pc?ôî dz -f- crf<p + f^dc.

D'ailleurs les coefficients de direction de D sont a, b, c; donc (p est déterminée par :

dœ -f- ad(t> + (fda dr/ 4- hdf^ -\- <bdb dz -f- crfy 4- ^dc

Pour que la détermination de y soit possible, il faut et il suffit que les deux équations (1) se réduisent à une, c'est-à-dire que:

da

*da)

db

dy

de

dz

Si cette condition est remplie, les droites D ont une enveloppe et cette enveloppe F^ est définie par les équations (F|), où 9 est donnée par les équations (i) :

Remarque. — On définit souvent une famille de droites D par les équations :

X = az -{^ p^ y z=z bz -\- q

où a, 6, j}, q sont des* fonctions déterminées d'un paramètre {s)

ENVELOPPE d'une FAMILLE DE COURBES A UN PARAMÈTRE 13

La trace M (p, ^) de la droite D [fig. 2) sur le plan des xy décrit une courber; on prend cetle courbe pour directrice de la surface réglée engendrée par D.

Ceci posé, cherchons à quelle condition les droites D ont une enveloppe. On pourrait appliquer le résultat précédent, mais il est plus simple de refaire la théorie.

A chaque droite D faisons correspondre un point déterminé M, situé sur D, la loi de correspondance étant définie par :

où z^ désigne la cote de M^. Le lieu du point M, est la cDurbe F^, représentée par :

(rO a?, = a:p 4- i), yK = h^-\'q,

Nous sommes amenés à résoudre la question suivante : Peut-on déterminer la fonction <p de manière que la tangente en M^ à la courbe ^^ se confonde avec M^D?

Les équations qui déterminent ^ sont :

^/fy -|- cptfq -|- dp

hdf^ -\- fjfdb -f- dq d^

c'est-à-dire :

<pc/a '\- dp = 0^ (fdb -\- dq := o.

Pour que les droites D aient une enveloppe, il faut donc et il suffit que Ton ait identiquement :

da dh

dp dq

Si cette condition est remplie, Tenveloppe est définie par les équa lions (rj, où (p est déterminée par Tune des équations (1).

§ 2. — Enveloppe cCune famille de courbes à un paramètre

Soient :

(r) X = a^ + a^t -{' ..., 2/ = *o + ^^+ •••» -3- == Co + C4^-f-...

les équations d'une courbe F. Supposons que les coefficients soient des fonctions déterminées d'un paramètre (s), de sorte que :

œ=zf[t,s), y ^9 (^ «), z=h {t, s).

On dit que les courbes F, qui correspondent aux diverses valeurs de (5), forment une famille de courbes à un paramètre (s). Cherchons si les courbes F ont une enveloppe, c'est-à-dire sont toutes tangentes à une même courbe E. Pour résoudre cette question, il suffit de généraliser la méthode suivie précédemment. A chaque courbe F, de paramètre *, faisons correspondre un point déterminé M^ défini par :

(1) œ^z=zf[t,s), y^=g[t,s), z=ih{t,s),

où:

Soit E la courbe lieu des points M, ; cette courbe est définie par les équations (1), où t est supposée remplacée par F {s). Ceci posé, peut-on déterminer la fonction F [s] de manière que la tangente à la courbe E au point M, soit précisément la tangente à la courbe F?

En écrivant que les coefficients de direction des deux tangentes sont proportionnels, on trouve :

'^I Y'u\ 4. ^ iÎ2 F' rs) -f- ^ — F' f^) -4- —

ou bien :

ih

ENVELOPPE d'une FAMILLE DE COURBES A UN PARAMÈTRE J5

Pour que les courbes r aient une enveloppe, il faut et il suffit que ces deux équations déterminent pour t la même fonction de s.

Rrmabque. — Supposons que la famille de courbes à un paramètre soit définie par les équations :

(1) / (^? y. -2:, û) = 0, g {Xy y, z, a) = o.

A chaque courbe F de paramètre a, faisons correspondre un point P, situé sur la courbe ; de sorte que, la courbe étant donnée, le point P soit bien déterminé. Les coordonnées de ce point P sont donc des fonctions déterminées de (a) :

Remarquons que, par suite de la définition du point P, ces expressions satisfont, quel que soit a, aux équations (i).

Soit E la courbe lieu du point P, courbe définie par les équations (2). Cherchons à quelle condition les tangentes en P à la courbe E et à la courbe F se confondent. A cet effet, concevons qu*on ait exprimé les coordonnées d'un point quelconque de F en fonction d'une môme variable t ; les différentielles dx^ dy^ dz^ prises par rapport à cette variable, satisfont à :

Pour que les deux tangentes en question se confondent, il faut et

il suQit que :

dx dj£ dz

c'est-à-dire :

Or, en vertu de la définition des fonctions :, ^, /, on a :

( j^ H'') + Di^ + («) + 57 ^ (") + ji^ ~ *'"

Donc, pour que les courbes F aient une enveloppe, il faut et il suffit qu'il existe trois fonctions x^ y, z dea satisfaisant identiquement à :

Supposons cette condition remplie, et soient : (E) a = <p(a), y = 4, (a), ^ = x(«)i

les trois fonctions, l'enveloppe est définie par ces équations.

Cas où les courbes de la famille sont planes. — Une famille de courbes planes à un paramètre a toujours une enveloppe. En effet, on peut mettre les équations de la famille sous la forme :

(4) x = f{t,s), g==y{iys), Z = 0,

ou encore :

(5) / (a?, y, a) = o, zz=: o.

Les conditions précédentes sont alors évidemment vérifiées. Dans le premier cas, Tenveloppe est définie par les équations (4), où ^ et ^ sont liées par :

Dans le deuxième cas, l'enveloppe est définie par :