COS

Soit M^ le point de contact de la génératrice MD avec la courbe ^^ On voit que M, se trouve sur Vaxe du cercle osculateur en M à la courbe F. Les développées de F se trouvent donc sur la surface S, lieu des axes des cercles osculaleurs de la courbe F.

Remarque. — La surface S est développable, car Taxe du cercle osculateur est précisément ]a caractéristique du plan normal; il est aisé de vérifier ce fait. On peut donc dire que S est Fenveloppe des plans normaux.

Supposons, en particulier, que la courbe F soit plane. Dans ce cas, la torsion est nulle en chaque point et, par suite :

La surface S est alors un cylindre, ayant ses génératrices perpendiculaires au plan de F. La directrice de ce cylindre est la développée plane de la courbe F.

§ 3. — Développanles dune courbe

Choisissons sur la courbe I\ un sens positif et une origine o quelconques. Puis, sur la tangente en M^ portons en sens inverse de la direc-

Fio. 32.

tion de la tangente une longueur égale a Tare OM {/îg. 32), de sorte que:.

M,M = — 6',, ou: MM, = 5,.

Le lieu F des points M est dit une développante de ^^,

11 y a évidemment une infinité (simple) de développantes, car on peut

choisir arbitrairement l'origine o. Ceci posé, démontrons que F^ est

une développée de la courbe F.

SURFACES DÉVELOPPABLES 95

Appliquons à cet effet la formule :

du = \^ds^ — "kds au segment MM^. — On a ici :

donc :

Ainsi MM^ est normal à F, ce que nous voulions démontrer.

Remarque. — Les problèmes qui précèdent donnent naissance à la question suivante:

Les normales principales d'une courbe F peuvent-elles former une surface développable ? Nous allons voir que non, à moins que la courbe F ne soit plane. En effet, les équations intrinsèques de la surface sont :

X = 0, jx:=:i, v=:0.

Pour qu'elle soit développable, il faut et il suffit que :

CfjL — Bv = o, ou : C = o-

Or :

p. d^ if^ j

^-' ds T ~ T'

il faut donc et il suffit que la torsion soit nulle en chaque point, c'çst-àdire que F soit plane.

§ 4. — Surface enveloppe des plans rectifiants d'une courbe

Proposons-nous de trouver une développable S passant par F et admettant celte courbe comme ligne géodésique.

Les équations intrinsèques de la surface sont de la forme :

(1) A -/-(.s), îit.= o, ^=z7i{s),

avec:

(^2) Bv — Cjx = o, X^» + v» = 1.

Les équations (2) déterminent X et v ; en effet, la première donne :

r^ r/uL , X , V

B = o, ou: ^-j--+- = o.

Le système (2) devient donc :

Ces équations définissent, dans le plan TMN, {fig, 33), qu'on appelle le plan rectifiant au point M, une droite déterminée D ; cette droite est la génératrice de S.

Fio. 33.

Remarquons que le plan tangent à S suivant la génératrice MD est précisément le plan rectifiant (car ce plan tangent doit contenir MT et MD). On peut donc dire que :

La surface H est Tenveloppe des plans rectifiants de la courbe F.

Les équations (3] définissent la caractéristique du plan rectifiant^ en M.

Cas particulier. — Supposons la courbe F choisie de manière que:

Alors :

rp ^« •

La génératrice D fait un angle constant avec la courbe F. D'ailleurs, les formules qui définissent A, B, C, montrent que :

d'où:

Donc (III* partie, chap. ii, § 3) la surface S est un cylindre. On obtient par suite le théorème suivant, dû à M. Bertrand :

SURFACES DÉVELOPPABLES

Si le rapport des deux courbures d'une courbe gauche est constant, cette courbe est une hélice tracée sur un cylindre quelconque. Nous avons déjà vu que, si

le cylindre est de révolution.

§ 5. — Calcul des éléments dune couvhe tracée sur une surface déccloppable

Prenons pour directrice Taréte de robroussement F de la surface développable S, et soit donnée l'équation :

d'une courbe F^ tracée sur la surface.

Fio. 31.

Soient, comme d'habitude {fig. 3i) :

M, un point de F ; ^, son abscisse curviligne ; M,, le point correspondant de F| ; ^|, son abscisse curviligne ; MT, MN|, MNj' ^^^ ^^^^ ^^ Scrret relatifs au point M ; M,T|, la direction de la tangente au point M, de la courbe F^ ; 9,, la valeur algébrique de l'angle qui a pour côté origine M|T et pour autre côté M^T, {*).

(') Cette valeur algébrique est bien définie, puisque M^Ti est dans le plan TMN^ et que l'orientation de ce plan est déterminée par ^INf.

APPLICATIONS GÂ031KTRIQUF.S. 1

1** Calcul de ds^ et ^fe 0,. — Les deux premières formules relatives à la variation d'un segment, appliquées au segment MM, (V. III, chap. ii, § 2) donnent :

du = ^1 cos ô, — ^/a*, udfs = ds^ cos e|.

Mais il faut remarquer que MfT^ est située dans le plan TMN, et que la dérivée géométrique du segment, directeur O^ de la droite MT a sa ligne d'application parallèle à MN^ ; donc

cos «^ = sin 6,.

Les formules précédentes deviennent

De là on tire

ds^ cos 6^ = du -|- ds^ ) ds^ sin ô| = udfx, )

ds^^ = {du + dsy + ^, ds\

et, par suite

ds ds

en supposant le sens positif de F^ correspondant à celui de F. Les formules (1) déterminent alors O^.

2® Calcul de la courbure et de la torsion. — Par le point M, monous dans le plan langonf la demi-droite M|T2, telle que :

M^T,, M, Ta ~ + ^î

et soit '^^ la valeur algébrique de Tangle qui a pour côté origine MjTj et pour autre côté la normale principale en M^ de la courbe V^. Cette valeur est bien déterminée, puisque Torientation du plan normal en M, à la courbe F| est défmie par la demi-droite M|T4.

Calculons d'abord ^i,h^4,V|, en fonctions de 64 et ^|. A cet effet, remarquons que la projection du segment Od sur M, Ta a pour valeur ( — sin 0|) ^ donc

[1, = — sin 64 cost}4, . = -sin6,cos(+, + |)=si„e,sin^„

d'ailleurs

X, =1 cos 64.

Appliquons kl formule (V)

SURFACES DÉVELOPPABLES 99

au inouvemcnl du segment MM,. On a vu (III* partie, chap. ii, g 4) que

■^ - nrt '^« - 1 X», • r;

Or, par dif fini lion,

donc

II, sin 6| R2to2 ' mais ou vioni de voir que

(/s, sin 0| =z u(h, ou : sin 0, =: -— ;

Ixt'i '

par suite:

. sinj'i . 4 1^

' " R, * Wto'tt

ol la formule (V; donne alors

sin j»t M 1

D'autre part, lÏMfuation :

^ ^ R, RT 6>a

* "" <h^ R, donne :

R, " r/,S| "^ sin 0< '

mais de la définition de A, résulte immédiatement que

A| =: H| sin 6^, ilonc :

Comme les équations (1) font connaître 0^ et co, les formules (2) et (3) permettent de calculer R^ et ^^, Knfm, la torsion est donnée par l'équation :

f r- D ^hi f^i sin^O, X.v.

(Asi ' dsi T, R

<iue Ton obtient en remplaçant dans I, les B, et G, par leu rs valeurs. Celte é*iuation se simplifie ainsi :

/M 1 I ff^t • sin 4»!

§ 6. — Application (fit ne surface développahle sur un plan

Nous allons maintenant étudier la correspondance remarquable qui existe entre les points de Set ceux d'un plan, correspondance qui fournit une représentation plane des figures tracées sur S.

Soit:

la courbure de Taréte de rebroussement au point M, et soit (y) une courbe tracée dans le plan des xy et telle qu'en chaque point m la courbure soit une fonction de Tabcisse curviligne {s) de ce point, précisément égale à ^ [s). Nous avons vu en géométrie plane que la forme de cette courbe (F) est complètement déterminée.

Ceci posé, à chaque point M de F nous ferons correspondre le point >n de (y) ayant même abscisse curviligne, et nous prendrons pour direction positive de (y) la direction correspondante à celle de F, c'est-à-dire la direction dans laquelle se déplace le point m quand le point M se. meut dans le sens positif. Définissons maintenant le point du plan qui correspond à un point quelconque de la surface.

Sur la tangente en m à la courbe (y), prenons un segment mm, de valeur algébrique égale à ?/. Les quantités w et * seront dites pour un instant les coordonnées non cartésiennes du point m, dans le plan. A chaque point M de Ja surface ayant pour coordonnées superficielles («, w), faisons correspondre dans le plan le point dont les coordonnées non car-

Fic. 3:;.

tésiennes sont « et «. A chaque point de la surface correspond ainsi un point bien déterminé du plan. Il est clair que la réciproque n*est pas exacte : un point du plan d'où Fon peut mener p tangentes à la courbe (y^ est le correspondant de p points de la surface. Nous allons voir maintenant les propriétés de cette représentation de la surface sur le plan.

SURFACES DÉVELOPPABLES lOi

I* Angle de (feux tangentes de la courbe (y). — Soient [fig, 35) : i>, la direction de la tangente menée à la courbe (y) par Torigine des arcs;

mt, la direction de la tangente menée à la courbe (y) par le point quelconque m ;

c = l'a?, m/, le symbole du deuxième membre représente, suivant Tusage, la valeur algébrique d^m arc de cercle trigonométrique et non im angle évalué en degrés, minutes, secondes.

Par hypolhèse, la courbure en w :

ils • '

D'autre part, soit I Torigine des arcs de F; nous prendrons, comme d^habitude, pour origine des arcs de l'indicatrice sphérique le point correspondant à I, de sorte que les quantités que nous avons appelées ^ et ff s'annulent en même temps.

Ceci posé, on a aussi :

dfs , , V

donc:

Supposons le point M en I ; il en résulte :

mais alors le point m, correspondant de M, se trouve en i et on a :

donc la constante k est nulle, et dans tous les cas :

2* Conservation des angles et des arcs, — Soient: w^, un point du plan de coordonnées («, u) ; (c), une courbe passant par ce point (Jîg, 35); m^ ^|, la direction de la tangente en ce point;

0, =1 rnt^m^t^.

^i, l'abscisse curviligne de m^.

Les formules relatives à la variation d*un segpment donne nt

i du = ds^ cos 6| — efe, f udf5^=i ds^ sin 0^,

ou :

ds^ cos 0| = flfw + rfs, ds^ sin 0| 3= wr/ff;

D'autre part, considérons le point M|(*, a) de la surface. Soient : C, la courbe qui a pour développement la courbe (c) ; S,, Tabscisse curviligne de M, ; M^Tj, la direction de la tangente en ce point, et :

On a trouvé (§ 5; :

e^ = MT, MJ^,

Choisissons les directions positives des deux courbes C et c, de manière qu'elles correspondent à celle de Taréte de rebroussement; alors dS^ et ds^ sont de môme signe et, par suite :

Il résulte de là que la représentation précédente conserve les longueurs des arcs et les grandeurs des angles.

3° Lignes géodcsiquen, — Courbure geodcslque. — Calculons la courbure (") au point m^ de la courbe (c). On a :

ou e

n posant ( w.r --^ j :

P rfS| "^ dSi

Or, en égalant deux expressions de la quanlilé A|, correspondaul au l»oint M| (le la courbt* C, on a trouvé (§ 5) :

H, ■" co VR ' dt> )

Donc :