PROPRIÉTÉS MÉTRIQUES DES SURFACES COURRES
iXOTIONS PRELIMINAIRES
51. — Différentielle cTun arc de courbe tracé sur une surface Considérons sur la surface S définie par les équations :
un point M (ti, v) et une courbe C passant par ce point. Soient :
(2) U=:^{1), rr^+(0.
les équations de la courbe C, et supposons que le point M corresponde à la valeur (t) de la variable indépendante. Soit s Tabscisse curviligne du point M; nous nous proposons de calculer la différentielle ds. On a vu que :
(3) ds^ -= dx^ + dy^ + dz^.
Or:
cte = r— rfw 4- r— dv.
ou * cv
(4) J dtj =^^]^ du + ^ dv,
f dz ^^ T- du 4- ■;- dv :
\ eu 00
donc:
(I) ds* = Edu^ + 2 Fdudv + Grfr»,
avec:
Remarquons que les fonctions E, F, G, de ti, o, ne dépendent que du point M et non de la courbe C passant par ce point. Si la surface S est réelle (ce f|ue nous supposerons toujours dans la suite), les quantités E et G sont essentiellement positives.
Cas particulier. — Soient MU et MV les directions positives des lignes coordonnées U et V, qui passent par M (p. 18j. Nous supposerons ces <]irectious choisies de manière que MU corresponde aux u croissants et MV aux V croissants. Désignons respectivement par s^ eis^ les abscisses de M sur les lignes coordonnées U et V. La formule (I; donne:
e&î = Ee/u^ dsl = Gdv^ ;
donc, si on a égard au sens positif des lignes U et V,
(6) rf»^ :rr + )/Êdu, cfej = -f y/Cdv.
Remarque I. — Plaçons respectivement sur les tangentes MU et MV et sur la tangente MT à la courbe C les segments :
MP^ :.~-.ds, , MPj = ds^, MP = ds.
Les projections de ces segments sur les axes Oo*, Oy, 0-/sont (Rem., p. 31) indiquées par le tableau suivant :
MP : dx dy dz^
MP| : :r- du -r^du r- du,
' ou ou ou
MP„ : T- dv x^ dv ^ dv.
* ov ov ov
Les formules (4) montrent donc que :
« Le segment MP est la résultante des segments MP^ et MP^. »
Cette remanjue est très souvent utile dans la pratique. On en déduit:
(1) ds^ -= dsj + ^5j 4- 2 ds^ds^ cosô,
6 désignant Tangle des directions MU et MV.
Si on remplace dans (F) ds^ et ds^ par leurs valeurs (6), et si on compare le résultat obtenu à la formule (1), on trouve :
cos 6 ~ ;==> d ou sm = + ^ — 7==
+ y/EG ^ VKG
En particulier :
« Pour que les lignes coordonnées soient orthogonales, il faut et il « suffit que Ton ait en chaque point de la surface :
Ce résultat est aussi une conséquence de l'expression (5) de V, Exemple. — La surface S est de révolution.
Prenons Taxe de révolution pour axe des ^.
Soient (/?//. 36) :
Fio. 36.
r, la méridienne située dans le plan méridien zOx^;
M, Fabscisse curviligne d'un point M;
r, Tangle de Ox avec Ox^ .
Il est clair que Ton peut prendre u et v pour les coordonnées superficielles du point M. Les lignes coordonnées sont alors les méridiens et les parallèles. Supposons la méridienne définie par Téquation :
r :- cp (w),
où r est le rayon du parallèle de M. Alors :
par suite, la formule (!') devient :
dn^ — rdv ;
ds^ =^ du^ + rVv^ -^ dti^ + tp' (u) do^.
Remarque II. — La forme différenlielle à deux variables m et r :
dx^ + dy^ + dz^ -^ Ldu^ + 2Fdudv + Grfy»,
jouit d'une propriété d'invariance que nous allons signaler. Supposons qu'on déplace la surface S dune manière quelconque dans l'espace (sans altérer, bien entendu, les coordonnées superficielles u, v)^ et qu'on
ramène par exemple ea S|. Les équations de S| ont la forme:
Y = p + p,a? + Pay-|-P3T, où:
Z = Y + ïf^ + Yay + Y3- 7
œ — f{u, r), js = h (m, r),
les coeffunents (a/, p/, y/) satisfaisant aux conditions d'orthogonalité. Ceci posé, on voit immédiatement que :
d\^ + dn^ -f d'L^ :^ ilc^ + dy^ + dz^ --- Erfu» + ^Vdudv + Gc^t?*.
On peut donc dire que les fonctions E, F, G, restent ùwarianles quand on déplace la surface S. Nous verrons plus loin d^autres fonctions jouissant d'une propriété analogue.
§2. — Paramètres directeurs superficiels d'une tangente
Définition analytique, — Soient M (m, r) un point quelconque de la surface et MT une tangente de cosinus directeurs l^ m^ n:
L'équation du plan tangent montre que :
Je
Donc, à une tangente quelconque MT, issue du point M, corres^ pondent deux nombres X et [x tels que :
OU ^ cv
En vertu de la relation (1), ces nombres satisfont à ré<|uation : (.4) EX» +2FXa + Gîi.»--.: 1.
La réciproque est évidente : si X et (ji sont deux nombres quelconques, liés par la relation (4), lesformules (3) définissent les cosinus directeurs /, m, n, d*une tangente déterminée MT. Les deux nombres X et^jt,, qui caractérisent la position de MT, seront appelés les paramètres directeurs superficiels de cette tangente.
Pour justifier cette dénomination, il faut montrer que les paramètres de la tangente MT ne varient pas, ({uand on déplace la surface. S (Rem. II, p. i07) d'une manière quelconque dans l'espace. Ceci résulte immédiatement de la proposition suivante :
« Théorème. — Soient :
M C, Tune quelconque' des courbes delà surface tangentes en M à MT t
« s, Tabscisse cur>iligne du point M sur cette courbe ;
iidu^ dv, ds, les différentielles dct<, i?, s, qui correspondent au déplacement du point M sur la courbe C.
« Ceci posé, on a :
du . dv
Cette proposition, qui fournit une propriété commune à toutes les courbes de la surface passant par M et tangentes à MT, s etabh't ainsi. On a :
d'autre part:
donc :
dx __^ ^ du \r dv ^
ds ^u ds ^c ds '
ou ov ^
^x /du . \ , ^a? /dv \
^3: [du A . 'bz (dv \
Puisque les trois déterminants fonctionnels de jt, y, 5^, ne sont pas tous nuls (p. 17) au point quelconque M, les relations préccdenlcs
de même :
iiO
exigent:
du
dû ds
Paramètres directeurs de MU et MV. — ■ L'application du théorème précédent et des formules (6) du paragraphe^ précédent donne, pour les paramètres directeurs (superficiels) de MU, :
du i
de même, ceux de MV sont :
Aj == 0,
Il résulte de là (jue les cosinus directeurs de MU et MV sont :
(MU) a'
(MV) a"=n-^^-T^' *"^
+ VG ^^
+ VG
Cosinus directeurs de la normale à la surface. — Choisissons sur la normale en M à la surface la direction MW, telle que le trièdre MU MV MW ait la disposition directe. Les cosinus directeurs a, 6, c, de M W sont alors tels que :
jf
En élevant au carré ce déterminant, on trouve immédiatement:
D2 = sin» 6 ;
donc (§ i):
D = sin 6 =:
