Ve

^(a, p) = /^(X, |x). Cette identité montre immédiatement que :

Da ^ '^ 5p Î)X ^ ' i^jjL

Or, la condition pour que MT et MT' soient conjugués par rapport à MT" et MT" est :

donc la condition cherchée est :

c'est-à-dire :

(II) (AX -t- Bjx) X' + (BX -1- C.ul) jx' = o

La condition d'ortliogonalité, obtenue précédemment, exprime au fond que les deux tangentes MT etMT' sont conjuguées par rapport aux tangentes isotropes issues de M.

Cosimis et sinus de V angle de deux tangentes MT, MT'. — Conservons les notations précédentes et désignons par ^ Tangle qu i a pour côté origine MT et pour deuxième côté MT' :

= Wï, MT'

La géométrie analytique élémentaire apprend que :

cos (p = aa' -}- pp' + ( ap' -f- px') cos 6, sin (p = (ap' — pa') sin 6;

donc, en passant aux paramètres superficiels, on obtient :

(III) ( «^« ^ = (E^ + Ffx) X' + (FX + Gj.) jx',

( sin (p = 4- v^A (X|x' - jxX').

APPUCATIOXS GÉOMÉTRIQUES. g

En particulier, supposons :

alors :

(EX + F[ii) V 4- (FX + Ga) tJL' = o,

— jx X' -f- X[jl' =

de là on tire :

Ces formules nous seront utiles plus loin.

Coefficient angulaire, — Par analogie avec la géométrie plane, nous appellerons coefficient angulaire superficiel de la tangente MT le rapport :

Le théorème démontré précédemment (p. 109) donne alors lieu au corollaire suivant :

Corollaire : Soit C l'une quelconque des courbes de la surface tangentes en M à MT. Les différentielles du et c?v, qui correspondent au déplacement du point M sur cette courbe, satisfont à la relation :

Par analogie encore avec la géométrie plane, on peut aussi appeler coefficients de direction superficiels de MT deux ncftnbres proportionnels à X et (JL. Ainsi, du et dv sont des coefficients de direction de la tangente MT.

§ 3. — Congruences de tayigentes

A chaque point M de la surface S faisons correspondre une tangente déterminée MT, et supposons la loi de correspondance définie par :

où m désigne le coeflîcient angulaire (superficiel) de MT,et * (w, v) une fonction donnée de u et v. L'ensemble des droites MT constitue évidem-

ment une congruence de droites. La surface S est une des nappes de la surface fooale.

Ceci posé, à chaque congruence ainsi définie correspond une famille de courbes remarquables. Cette famille se compose des courbes de la surface dont les tangentes appartiennent à la congruence. Soit :

l'équation de l'une de ces courbes. En vertu du corollaire (§ 2, p. il4), on a en chaque point :

donc la famille cherchée se compose des courbes intégrales :

^ (m, v) = O* de Téquation (2).

La correspondance entre M et MT peut être définie par :

X r-: o (m, r), |x = I (tt, v), EX' + 2FX|A + Ou» = 1.

Dans ce cas, les courbes, dont les tangentes appartiennent à la congruence, sont les courbes intégrales de Téquation différentielle :

du (Iv

Réseau de courbes orthogonales, — Considérons la congruence définie par :

7n -- o iuyv),

A cha([ue droite MT de la congruence faisons correspondre la tangente perpendiculaire MT'. La congruence des droites MT' est définie par :

E + Fm

m 7ZZ. — ' •

F -f (îw

Les familles de courbes liées à ces congruences sont définies respectivement par :

dv — o (u. v) du = o (2)

(E + F* ) du + (F +• iW) dv^o (3)

Ces deux familles constituent un révau de courbes orthogonales tra-

•* 'S'^tr.

cées sur la surface. Chaque courbe de Tune des familles coupe orthogonalement toutes les courbes de l'autre .

On peut choisir arbitrairement Tune des familles du réseau ; la seconde est alors complètement déterminée. Soit en effet :

Téquation de la première famille. La deuxième est évidemment déGnie par Téquation (3), où Ton suppose (p remplacée par sa valeur tirée de :

ou cv ^ On remarquera en particulier les deux réseaux orthogonaux : I u = 0\ \ V == C'%

! Edu + Vdv .- O, I Vdu + Qdv r::. o.