FRIÈDRE SUPPLÉMENTAIRE DU TRIÈDRE MU, MV, MW

§ 1 . — Les sijc fondions caractéristiques (Viine surface

On a vu (p. 108) que les fonctions E, F, G, restent invariantes quand on déplace la surface S d'une manière quelconque dans l'espace. D'autres fonctions jouissent, comme nous allons voir, de la même propriété.

Supposons qu'on donne à la surface S un déplacement quelconque, et soient (X, Y, Z) ce que deviennent après ce déplacement les coordonnées a?, î/, z^ d'un point quelconque M de la surface. Les formules qui lient (X, Y, Z) à [cl\ y, z) ont la forme suivante :

a: = aX + ftY + yZ + œ,, y zz. a'X + fJ'Y + fL + y,, z :--- a"X + rV + ï'Z + ^,.

où a, p, ..., fi", y", satisfont aux conditions d'orthogonalité. Les cosinus directeurs a, ô, c, d'une droite MD invariablement liée au point M, se transforment en A, B, C, d'après la loi suivante:

a = aA + pB + yC, bz= a'A + p'B + y'C,

En particulier, nous supposerons que MD coïncide avec la normale MW à la surface.

Ceci posé, formons les différentielles totales des fonctions x eia des variables u et v :

dx = ac/X + pdY + ^dZ, da = oLdX + ^dB + y^C,

on obtient des expressions analogues pour dy^ dz^ dh^ de. De là, on déduit :

2 dadx :^ ^t/Af/X.

On peut donc dire que la forme différentielle à deux-variables m, r :

reste invariante, quand on déplace S d'une manière quelconque, sans altérer, bien entendu, les coordonnées superficielles u et v. Ainsi :

« Les six fonctions E, F, G, E', F', G', restent invariantes quand on c déplace la surface S d'une manière quelconque dans Tespace. »

Ces six fonctions caractérisent, comme nous le verrons, la forme de la surface. En d'autres termes, si ces fonctions sont données, la surface est complètement déterminée, indépendamment de sa position dans l'espace. Cette proposition est fondamentale dans la théorie des surfaces.

Remarque. — La formule de définition (1) montre que :

Frrr-

2oa ex G'

S^a Dr

Ces formules, dont nous ferons beaucoup d'usage, résultent immédiatement des identités :

§2. — Lénifie d'algèbre

Avant de démontrer le théorème fondamental, nous établirons la proposition élémentaire suivante. Soient :

D'nr