FONCTIONS QUI CARACTÉRISENT UNE SURFACE

deux déterminants différents de zéro. Concevons qu'on fasse le produit de ces deux déterminants, en multipliant ligne par ligne^ et supposons que, dans le déterminant produit: i° les éléments de la diagonale principale soient égaux à Tunité ; 2® que les autres éléments soient nuls. En d'autres termes, soient :

iaa' -\'bb'-{'Cc'z=i^ a^a' +ô/'-|-C|C' = o, a^a' + ôjô' + c^c' = o, aa\-\-bb\-{'Cc\=o, a^a^'-\-b^b\-{'C^c\=i^ aja'^+ftjô'j+^jc'^ =o, aa\-\-bb\,-\-cc\^=o^ a^a\-\-b^b\-{-c^c\^=zOy a^a\-\'bJb\'\'C^c\=zi.

Nous allons démontrer que :

« Si Ton fait le produit des déterminants D et D' en multipliant co- « lonne par colonne^ on obtient un déterminant dans lequel: 1* les u éléments de la diagonale principale sont tous égaux à Tunité ; â^ le^ « autres éléments sont tous nuls. »

Ce théorème est, comme on voit, une généralisation du théorème relatif aux neuf cosinus d'un trièdre trireclangle. On peut le démontrer de la manière suivante:

Des formules (i) on tire :

chaque grande lettre désignant le mineur de lelément représenté par la petite lettre correspondante. Les relations (2j donnent :

a^ b ^ __ flg' + ^^' "h gg' L

A' "" B' — C ~ AV + Wb' + Ce ~" D*

De môme :

Donc :

« Le rapport d'un élément quelconque de D au mineur correspondant « de D' est constant et égal à Tinverse de D'. » Ce point une fois établi, remarquons que :

a = jy» a^ ~ D^' ^a ~ "D^*

donc :

aa' -[- a^a\ -f- a^a'^ ^= 1,

ab' + a^b\ -f a^b\ = o, :

ac' + ««C, -f- a^c\ =i o.

On démontre de même les six autres relations en question. Nous dirons dans la suite que le système d'éléments (D') est Yinverse du système (D). L'inverse d'un système quelconque D (à déterminant différent de zéro) est complètement déterminé.

§3. — Trièdre supplémentaire du trièdre MU, MV, MW

Considérons le trièdre déjà défini (MU, MV, M\V). Nous pouvons prendre comme coefficients jle direction des arêtes les éléments du svstème :

abc ^œ ^y ^z ^u ^u ^u ^cc t^y ^z <)t> ^v ^v

MW, MU,