MV

Les éléments du système (2) intervenant dans beaucoup de calculs relatifs à la surface S, nous allons indiquer la manière de les calculer.

La droite MU se trouve dans le plan des deux droites MU', MV; on a donc:

(^) 3m = ^^* + ^^2» 5ti = ^*< + î^^â' Si "^ ^^< + ^^â-

Combinons linéairement ces équations, en prenant pour multiplicateurs ( ^> T^> —\ ; nous obtenons (§ 2) :

de même :

FONCTIOiNS QUI CARACTÉRISENT UNE SURFACE 121

Ainsi:

'4) '^^ Ea. + Fa., ^ = Eb, + Fô„ ^ = Ee, + Fc,.

ou ' 'ou • ' ^ ou lia

On trouve de même :

,5) g:r.Fa,+Ga„ ^ =. Fft, + Gô„ g=Fc, + Gc,.

Les couples (a,, «j)» (^4» ^a)» (^n Cj), sont les couples adjoints des couples ( ^> ^ h ( r^> ^^ )» I -Ir-» y")' relativement à la forme :

(Eî^ + 2F5ti+GV).

Application. — Proposons-nous de calculer les dérivées de a, ô, c,

est évidemment parallèle au plan langent en M (m, r), donc : ^a ^ . ^6 . , , , De

— r:r Xû4 + (Xa^, ^ = X^^, + (AÔ^, ^ = Xc, + fXCj.

Formons la combinaison linéaire qui a pour multiplicateurs respectifs (^, ^j t^ h nous obtenons:

\ou ou ou/

- Vi Drt Da?

^>^' ou ou c'est-à-dire (p. 118) :

X =. - E'; de même :

Ainsi les dérivées par rapport à ii sont définies par :

(6) ^ + E\ + F'a, = o, ^ +E-6,+ F'6,=o, | + Ec, + F'c, = o, de même :

(7) ^ 4-F'«, +G'a,=o, ^+F'*,+G'ft,=o, | +F'c, + G'c, = o. Ces formules nous seront utiles plus loin.