RELATIONS ENTRE CES FONCTIONS

§ 1. — Foi^mules de Gauss

Les propositions établies dans le chapitre précédent vont nous permettre de démontrer que la surface S, indépendamment de sa position dans l'espace, est complètement déterminée quand on connaît les six fondions E, F, G, F/. F\ G'.

Ce théorème fondamental résulte de formules dues à Gauss, qui permettent de calculer en chaque point de la surface S les dérivées secondes de x, y, z en fonction des dérivées premières et des fonctions E,F, G, E', F', G'. Proposons-nous d'abord de trouver ces formules.

Les équations qui définissent x^ y, z^ quand on connaît E, F, G, K\ F', G', sont évidemment les suivantes :

En différentiant les équations (l) on trouve évidemment:

(3) 2jTu'^^^-"'- Zj^-ÏÛS-v^""^ luTu'^^"'^ ^*' Zj Do ?u» ~ ' Zj 7>v .>mc^o ~ ' Zl Do Dp» — " *

où m, n, m', n', m', n", désignent (d'après Gauss) les fonctions s«i-

vantes :

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