DF 1 ?K

, 1 Xi

2 Om

Pour obtenir les formules cherchées, il suffit donc de résoudre les neuf équations (2), (3) et (4) par rapport aux dérivées du second ordre des fonctions x^ y, z. Cette résolution est particulièrement simple, si Ton utilise les deux systèmes inverses (§ 3, p. 120):

correspondant au trièdre MU, MV, MW, et à son supplémentaire. En effet, combinons linéairement les équations (2), (3) et (i), en prenant pour multiplicateurs respectifs les quantités /i, a,, a^. Le lemme d'algèbre établi plus haut (p. 118) permet d'écrire immédiatement :

=: E'« -(- ma, + n«j^, = C'a -|- ^''<^\ + ^"^a-

On calcule de môme les dérivées secontles de y et ^ ; il suffit de prendre pour multiplicateurs (6, 6,, b^), puis (c, <^,, c^j. Les formules (I) et celles qui en dérivent par permutation sont les formules cherchées, puisque a, 6, c, a,, 6^, c,, «2, ^2» <^2» ont déjà été calculées (p. 111 et p. 121) en fonction des dérivées premières de ,r, y, z :

On peut donner aux formules (1) une autre expression également avantageuse. Considérons les couples ({x, v), (jx', v'), ((x", v'^), a^om^,"?de (m, n), (m', n'), (m*, «"), par rapport à la forme (E;* + ^f^n 4* Gtj^), c'est-à-dire les couples déiinis par :

, I Ejx -f Fv = m, Efx' + Fv' = m\ ^'^1 F|x + Gv = n, Fa' + Gv' = «',

Ejx'' 4- Fv" = m" ; Fjx'' + Gv" = n\

iâl CHAPITRE m

Remplaçons dans (I)les quantités m, w, m\ n\ m\ u', par ces valeurs €t tenons compte des équations qui définissent a^ et a^ (p. i21) :

* ' ^ ou nous obtenons immédiatement:

^u^ ' *^ ^*/ ' ov

Par la permutation des lettres .t, y, ;r, d'une part, et de (a, ^, c\ d'autre part, cm obtient deux autres systèmes analogues au système (1). T.es formules (I) et (1 *»'•), équivalentes aux formules de Gauss, seront appelées les fo7*mules de Gauss.

§2. — Relations entre les fonctions E, F, G, E', F', G'

Les formules précédentes vont nous conduire d'abord à cette consé- •(luence importante, à savoir : ([ue les fonctions données E', F', G', ne peuvent être choisies arbitrairement et qu'elles sont liées aux fonctions E, F, G, par des relations différentielles simples. La voie la plus simple à suivre pour obtenir ce résultat remarquable nous paraît la suivante : 1° Éliminer les douze dérivées du troisième ordre de a?, y, z, entre les •dix-huit é([uations (A) obtenues en différentiant par rapport à te et t? les équations (2), (3), (4) ; on obtiendra ainsi trois équations distinctes (B'i ; î2° Eliminer les neuf dérivées du deuxième ordre de x^ y, z^ entre les trois équations (B) et les neuf équations (2), (3), (4) ; on constatera alors que les dérivées du premier ordre s'éliminent d'elles-mêmes et on tombera sur les relations cherchées.

Première opération. — Comme douze des équations (A) sont certainement résolubles par rapport aux dérivées du troisième ordre (car D :9^ o\le résultat de l'élimination indiquée se compose de six équations

THÉORÈME FONDAMENTAL i2î>

(distinctes ou non) ; ce sont évidemment les suivantes :

^ Or ou

(6 ) ^r- — rr— .— O.

Ces six équaticms se réduisent aux trois équations (1), (2) et (3). En effet, les équations (4) et (6) sont identiquement vérifiées (voir les. expressions de wi, m\ n\ n*^ p. 123), et Téquation (5) est équivalente à lequation (3) en vertu de Tidentité :

-^fn' + w") = .-(n + m').

Deuxième opération . — Eliminons maintenantles dérivées du deuxième ordre de œ, y^ ^, entre les équations ( B) et les neuf équations (2),( 3j, fi;, du paragraphe précédent. Il suffit pour cela de porter dans (B) lesexpressions (I^'*) des dérivées secondes de .c, y, -s-, et de remplacer les. dérivées de a, h, c, par les valeurs obtenues plus haut (p. 121).

La première des équations (B) devient ainsi :

Les relations entre les systèmes inverses D et D' [\ 1) donnent

etc.

L'éc[uation précédente se transforme alors en ceUe-ci

La deuxième équation (B) donne de même :

Enfin, la troisième équation (B) devient :

ov ou -^ V 'ou ov

-2(E'« + .Jî+.g)(G-»+,-g+.-^)

c'est-à-dire :

-j- F (2jji'v' — [xv" — vjjl") -|- g (v'* — vv"),

ou enfin :

+ E (ul'^ — ijLa") + F (2|x'v' — jxv^ — vjji") + G (v'> — vv"\

On voit que la quantité (E'G' — F'^) ne dépend que de E, F, G, et de leurs dérivées (*). Nous verrons plus tard l'interprétation géométrique remarquable de cette particularité.

En résumé, les relations entre E, F, G, E', F', G', sont:

3E' ?F' DF' JG'

FT' F» - ^ i il^ * iî!l;

+ E (u'» — lAJx") + F (2ul'v' — (AV* — VfA') + G (v'*

vv j.

§ 3. —Théorème fondamental relatif aux fonctions E, F, G, E', F', G'

Soient données les six fonctions E, F, G, E', F', G', de (ti, r), et supposons que ces six fonctions satisfassent aux conditions d'intégrabi^

(ij Cette remarque est due à Gauss.

lilé (II). Nous allons démontrer que la surface S, indépendamment de sa position dans Tespace, est complètement déterminée. La surface S est définie par les équations :

et les suivantes :

avec :

^u ^v ^u ^o , ^v t)w <)t? Dm ^ti ^v <)m ^v

Les calculs développés précédemment montrent que Ton peut remplacer ce système par les neuf équations de Gauss et par les trois équations (1). Un théorème de calcul intégral, que nous admettrons ici, nous apprend qu'il existe une surface S [dans le sens adopté (p. 17) au commencement de ce cours] et une seule satisfaisant à la question, si

l'on se donne les valeurs initiales Xq,i/q, Zq, ^jA » \^j > (^\ » \^\

i^i ' ( S") ' de 0?, y, -8^, et de leurs dérivées premières pour (m = t/^, V = Vq), valeurs initiales assujetties uniquement aux conditions :

A tous les systèmes de valeurs initiales correspond ime famille de surfaces S, à six paramètres, satisfaisante la question. Tout revient à démontrer que ces surfaces sont identiques et ne diffèrent que par la position qu'elles occupent dans Tcspace.

A cet effet, remarquons que les équations (I bis) permettent de calculer une quelconque des dérivées d'ordre n de a? en fonction des dérivées premières. Chaque dérivée d'ordre n est évidemment, en vertu des formules (p. 121) qui donnent les dérivées de rt, b, c, une forme linéaire

en a, r— » r-* Ainsi:

ou cv

P, Q, R étant des fonctions délerniinéos des fonctions données el de leurs dérivées. Si donc on écrit le développement en série de x suivant les puissances croissantes de t* -^ Mq et • r — ©u*, en groupant ensemble

les termes en ar^, ensemble les termes en (^) » enfin, ensemble les termes en ( ^ J «on obtient une expression de la forme :

OÙ A, B, C, désignent les sommes de séries ordonnées suivant les puissances croissantes de 'w — u^ et iv — r^), à coeflicients parfaitement déterminés. On démontre de même ([ue :

et, par suite :

(7) . = .. + Ao, + B (^^)^ + C (g)^.

Ceci posé, les relations de condition (3) nous permettent de définir un trièdre birectangle particulier, à savoir le trièdre ï ayant pour sommet le point (xq, y„, s^) et pour ses neuf cosinus :

Ce trièdre se déplace dans l'espace sans se déformer, quand on fait varier les conditions initiales, car le cosinus de Tangle des arêtes

obliques a une valeur constante :

Or, la surface définie par les équations (5), (6) et (7) a pour équations, relativement au trièdre T, les suivantes :

(8) X=:A, Y = B\/Ê^, Z^CVG;;.

Donc toutes les surfaces S satisfaisant à la question sont identiques à la surface bien déterminée (8). Ainsi se trouve démontrée la réciproque de la proposition établie plus haut (p. 118».

APPLICATIONS G#.OXéTBIQUBft.