PROPRIÉTÉS DESCRIPTIVES DES SURFACES COURRES

PLAN TANGENT. — ENVELOPPE D'UNE FAMILLE DE SURFACES A UN OU DEUX PARAMÈTRES

§ 1. — Préliminaires

Nous considérerons dans la suite une surface S comme le lieu des points dont les coordonnées cartésiennes x, y, z, sont des fonctions données de deux variables indépendantes u etv:

(1) as=f{u,v), y = g{u,v„ zz=h{u,v). (')

Nous supposerons que, dans le voisinage d'un système (u^, Vo), les fonctions /*, g^ h sont développables en série suivant les puissances croissantes de (m — i/o), iy — t?o) (sauf pour quelques valeurs exceptionnelles de Uo, t?o) :

/•(m, c) = «0 + Û| (« — «o) + «2 (» — »o) + ••• Wo — * < w < "o + a,

^(m, r) = 6o + *i (w— Wo) + *a(^ — ^0)+-— ^o — P < «> > t?o + P- A(ti, r) = Co + c^ (w — Mo) + c^[^— »o) + ...

A chaque système de valeurs (m, v) correspond un point déterminé M (a?, y, 2) ; ces nombres (u, v) sont dits les coordonnées superficielles du point M. Il est clair, djailleurs, que le point M peut admettre plu-

(1) Bien entendu les fonctions /\ g^ h ne satisfont pas simultanément aux trois identités :

5JZL21-0 5J2iA^-o ^-i^Lfl-.o

sans quoi x^ y, z, seraient fonctions d*une seule variable indépendante^ et les équations (i) définiraient une courbe et non une surface*

APPUCATIONS OÉOMÉTRIQCES. 2

siears systèmes de coordoonées et même ane infinité. Cette circonstance se présente par exemple si :

/(m, 9} = sin 9 costf, g [u^ v) = sini? sin 11, h «, v) = cas 9.

Dans ce cas, la surface est une sphère, de rayon égal à l'unité, ayant pour centre l'origine.

Une courbe C, tracée sur la surface, peut être considérée comme le Heu des points M (u, r), définis par:

ou bien :

v = F (tt).

En particulier, considérons les lignes de la surface, obtenues en supposant:

dans les équations (1), ces lignes sont appelées des lignes coordonnées ; elles forment une famille à un paramètre (r). Une seconde famille de lignes coordonnées est obtenue en supposant dans les équations (i) ;

tl = C^

Nous désignerons parU une ligne quelconque de la première famille, par Y une ligne quelconque de la seconde.

Par chaque point M (uo, r,) de la surface passe une ligne U :

et une ligne Y :

(Y) x=zf (w^, r), y=ig (tio, t?), z = h (ti^, v).

Exemple I. — Éqtuilîons cCun cône. — Prenons pour origine O le sommet du cône et pour directrice une courbe (F), tracée sur la sphère de rayon égal à Tunité, ayant pour centre le point O,

Soient :

les équations de la directrice (F) et soit m un point de cette courbe. Nous prendrons pour direction positive de la génératrice Om la direction de vers m^

Les coordonnées (a?, y^ z) d'un point M de la génératrice Om sont données par :

X = aw,

z = yw,

où u désigne la valeur algébrique du segment OM. Les équations (2) sont les équations cherchées.

Exemple IL — Equations cTun tore. — Prenons pour axe des z Taxe de révolution et pour origine la projection sur cet axe du centre C du

Fio. 3.

cercle générateur. Supposons Torigiae des arcs du cercle générateur au point A le plus éloigné de Taxe ; enfîn soient {fig. 3) :

R = CA, a = OC.

La position d'un point M du tore est complètement déterminée si on se donne la valeur algébrique Rp de Tare AM et :

u = Oa?, 0(c^.

On trouve alors immédiatement pour les équations du tore

a? = (a -{- R cos v) cos m, y = (a -j- R cost?) sint«, z= Rsinu.

Remarques sur les coordonnées polaires. — I)ans les applications de Tanalyse à la géométrie, on utilise souvent les trois coordonnées polaires d'un point. Je crois devoir rappeler la définition de ces quantités. Soit m la projection d'un point quelconque M (â?, y, z) de l'espace

sur le plan des œy. Désignons par p^ et ^ les coordonnées polaires du point m dans le plan des xy (la définition des coordonnées polaires en

Fio. 4.

géométrie plane est supposée connue). Soit Ox^ la demi-droite définie par [fig, 4) :

Oa?, Oa?, = f .

Traçons la demi-droite Oy^ perpendiculaire à Ox^ et telle que :

Ox^, Oy, =+ -

Enfin, supposons Torientation du plan zQx^ définie par Oy, et soient (ô,p) les coordonnées polaires du point M dans le plan zOx^ quand on prend pouur pôle et Oz pour axe polaire. Les coordonnées polaires du point M sont par définition ('1, 0, p^. Calculons x,, y^ z en fonction if», ô, p. Le théorème des projections donne :

a? = Pi cos'J/,

y = Pi sin|,

^ = p cos ô.

Le môme théorème donne encore :

p, = p cos f— I + ôj = p sine;

donc:

(4) 0? = p sinô cos'f, y = p sin 6 sin •]/, 4: = pcos6.

Quand le point M se déplace, ses coordonnées polaires peuvent varier de — X à -|- « .

PLAN TANGKNT 2i

Les équations :

(5) -f = /'('), ii=ff{t), 9 = h{t),

déGnissent une courbe gauche F; mais il est aisé de voir que la courbe F peut être représentée par plusieurs systèmes tels que (5). Ainsi, par exemple, les équations :

où a et R s<>nt constants, définissent un méridien de la sphère ayant pour centre. O et pour rayon R. Mais les équations

^=z a-\- ki:, 6 = ^, p = R,

où k désigne un entier quelconque, définissent le même méridien.

Dans les deux cas, il suffit, pour obtenir tous les points du méridien, de faire varier / de O à Stc.

On pourrait dans la définition des coordonnées polaires d'un point limiter les intervalles dans lesquels peuvent varier p, et 9 et prendre pour coordonnées polaires du point M le système unique^ défini par:

Cette définition présente des inconvénients dans la pratique. Par exemple, on ne pourrait, en Fadoptant, représenter le méridien considéré par un système d*é.quations de la forme (5). On serait obligé de représenter séparément chaque demi-méridien ; car, pour le premier :

J, = a, = /, p = R, o < < < ir,

et:

v|/ =:r a + w, Ô == /, P = R? O < < < ir,

pour le second.

S 2. — Plan tangent

Considérons sur la surface S un point M de coordonnées superficielles (u, v) et cherchons le plan tangent en ce point. Soient

les équations d*un arc de courbe AB passant par ce point et tracé sur

la surface ; supposons que le point M corresponde à la valeur t de la variable indépendante [fig, 5).

Fio. 5.

On a vu que Ton peut prendre pour coefficients de direction de la tangente MT à Tare ABles différentielles c^, dy^ dz^ prises par rapport à /; ces quantités sont données par

dx .. «M + ^ or,

bu ' Jl? '

dy = ^ duA-^ dv,

^ b7l ' bv '

de là on tire :

bz bz dz —rr- du 4-rr- dv\ bu ' bv

Idx -|- 'ïïidy + i^dz — o,

en posant :

l D;/ bz

bu bv

bs by

bu bv

bz bx bx bz bu bv bu bv

bx by

bu bv

by bx

bu bo

Supposons qu'au point M ces trois quantités ne soient pas nulles ; comme elles ne dépendent que du point M et nullement de Tare AB, on voit que :

Le lieu des tangentes de la surface, menées par le point M, est le plan défini par Téquation :

/ (X — ip) + w (Y — y) -f n (Z — ^) = o,

que Ton peut aussi écrire sous forme de déterminant :

du

du

Sa?

dy

Hz dp

Ce plan est, par définition, le plan tangent au point M.

L'équation (2) est celle du plan qui contient les deux tangentes aux lignes coordonnées passant par M. Cette propriété permet, dans la pratique, de retrouver rapidement Téquation du plan tangent.

Cas particuliers, — Supposons la surface définie par

on peut appliquer le résultat précédent; il surfit de supposer un instant la surface définie par :

on trouve qiie Téquation du plan tangent au point M (j?, j/^ ^) est :

Z-z-p{X-x)-qCi-y) = o, où: '