DE LA SURFACE. COURBURE GÉODÉSIQUE

§ i. — Quelques propriétés in finitésimales des courbes

tracées sur une surface

Nous nous occuperons, dans ce chapitre, de quelques propriétés communes aux courbes (r) de la surface, qui passent par un même point M et admettent en ce point la même tangente MT. Nous prendrons pour point de départ de celte étude la remarque fort simple qui va suivre.

Soient :

1*^ u^ V les coordonnées superficielles du point M ;

2^ X, [JL les paramètres directeurs superficiels de la tangente MT;

3** «, l'abscisse curviligne de M sur l'une (quelconque) des courbes F ;

4** 0, un point fixe de l'espace.

A chaque point tel que M de la surface, faisons correspondre un segment déterminé Om. Ce segment jouit de cette propriété remar- <|uable :

Théorème. — La dérivée géométrique [mp) du segment 0/n, prise par rapport à s, est un segment invariant relativement aux courbes (F); en d'autres termes, ce segment [mp) est le même pour toutes les courbes (F) de la famille considérée.

Soient :

les projections de Om sur Oa?, Oy, O^, et désignons par la caractéris-

tique cl les différentielles correspondant au déplacement de M sur la courbe (F). Les projections de [mp) sur les axes sont représentées

par ( y -y-» -7" )• D'autre part, en vertu d'un théorème (p. 109)

démontré, ort a :

du . dv

ds " ^' d8 - ^•

Par suite :

ds ~ Da ^ + 5Ô ^

ds -^u^ + c>r ^'

de De i *Î£

ds-:>u^+ î^ ^'

On voit donc que les projections de {mp) sur les axes ne dépendent nullement de la courbe F choisie. Ce segment reste donc le même pour toutes les courbes de la famille considérée.

Corollaire. — Soit M0 la demi -normale à MT, située dans le plan tangent en M, et toile que :

MT, MH = + ^•

11 est clair qne les projections de (mp) sur MT, M6 et MW sont trois segments invariants relativement aux courbes F.

§2. — Théorèmes de Meusnier etdOssian Bonnet

Suppos(ms, en particulier, que le segment (Om) soit le segment direC" teur de la normale MW, alors la projection de (mp) sur MW est nulle en vertu de Fidentité :

ada -\- hdh -f- <^cli = o.

Évaluons les projections P et Q de mp suivant MT et M0. Désignons comme d'habitude par MN^ et MN, la normale principale et la binormale de la courbe F au point M.

Les cosinus directeurs de MW relativement aux axes MT, MN,, MN, sont :

îi = o, \L = cos cr, V = sin cj,

où {fig. 38) :

u = MN^,MW.

Les projections A, B, C de {mp) sur les mêmes axes sont (p. 75) : 4 cos n

/dm 1\ ^ /dry l\

et par suite :

T^ cos rr ^1 tfry

Nous obtenons donc le théorème suivant:

Théorème. — Pour toutes les courbes F, ([ui passent par le point M et admettent en ce point la môme tangente, les expressions différentielles — jt — et ( tT — -y ) conservent la même valeur.

cos u 1 drs

-R- ^ '"^' T - Ife = '"' •

La première partie (»st la traduction analytique d'un théorème dû à Meusnier ; la seconde partie a été découverte par Ossian Bonnet. On voit comment la remar([ue du paragraphe précédent permet de démontrer simultanément deux théorèmes célèbres.

Remarque. — Considérons la section {^^) de la surface par le plan TMW, c'est-à-dire la section normale tangente à MT. Pour cette courbe particulière, on a (si on choisit pour direction positive de sa normale en M la direction MW) :

CT = o, cos cy = 1.

Le théorème précédent donne donc :

cos CT 1

ou bien :

Ri cos ny = R,

QUELQUES PROPRIÉTÉS LNl INITÉSIMALES DES COURBES 133

R^ désignant (en grandeur et en signe) le rayon de courbure en M de la courbe (Pi). Soient I et I, les centres de courbure respectifs {fig, 38) des courbes F et F^ au point M ; Féquation précédente exprime, en vertu du théorème des projections^ que la projection de I| sur le plan TMN| coïncide avec le point 1. En d'autres termes :

« L'axe du cercle osculateur au point M de la courbe F passe par le <« centre de courbure de la section normale en M tan trente à la courbe F. » Tel est le théorème découvert par Meusnier.

§ 3. — Calcul des deux invariants différentiels en chaque point

d'une courbe donnée F

Par définition, Tinvariant différentiel P en un point M de F est la projection du segment imp) sur la tangente MT. Donc on a, en conservant les notations précédentes,

-. da dx , dh du , de dz ds ds ds ds ^ ds ds

<»t, par suite (p. 118),

,.. cos CT ^ EW»' + ^F'dudv + G'dv^

^ ' R ■" Edu^ + ^Fdudv + Gdv^ '

Cherchons maintenant Fexpression de Finvariant Q. Les paramètres

directeurs de M6 sont (p. 114) :

a = — d*autre pari :

as as

^ yry da / ^x , ^ 7^œ\

ou (p. 118) :

donc enfin :

/Q\ 1 ûTd 1

as as as ^ as

as as as as

Remarquons que les seconds membres des formules (1) et \±] ne* changent pas si la courbe r varie de manière à rester tangente en M à MT. En effet, ces seconds membres sont complètement déterminés, si Ton donne les coordonnées (m, r?) du point M et les paramètres directeurs superficiels de la tangente MT. Nous obtenons donc une vérification des théorèmes de Meusnier et d'Ossian Bonnet. Nous verrons plus loin des conséquences des formules (1) et (2).

§ 4. — Courbure el torsion en un point quelconque de la courbe T

Supposons que les coordonnées d'un point quelconque Mdei^F) soient exprimées en fonction de son abscisse curviligne s :

et proposons-nous de calculer la courbure et la torsion au point M. On a vu (p. 57) que la courbure en M est représentée par la dérivée géométrique du segment directeur de la tangente, prise par rapportât. Nous sommes donc conduits à déterminer cette dérivée. A cet effet, nous chercherons ses projections sur MW et M0 {fig, 38). Ses projections sur Oo?, Oy, 0>c, sont (p. 57) :

d^ ds^'

ds^'

donc celles sur MW et M0 sont :

cos çy

sin CT

ds^ "" Eû^M* + 2FrfMt/t?+.Gc/»>

La première de ces formules a déjà été obtenue au paragraphe précédent. Transformons la deuxième. En remplaçant a et ^ par leurs valeurs (§ 3), on a :

smct K

-Vï

d^x cja?

E^+F- F — +G — ds ds ds ds

Tout revient à calculer les éléments de la première ligne du déterminant. On a :

2j G&a ' Dm

duy ds)

1j \ju^\ds) "^ ^DuD»

du dv :^2£ {^^Y

ds ' ds"^ Dt?« ' \ds)

^ dhi ^ ^ c?'o "| D»

+ Dm ' ds^' "*" Di? ' e/s> J hi

Remplaçons les dérivées secondes de x, i/y z, par leurs valeurs calculées au moyen des formules (I bis) de Gauss; nous obtenons :

avec:

rf»M

dh}

u /du\~ du dv „ /dv\-

N=S-:+Kfy+-'t-f+^'(l)-

On trouve de même :

Donc:

sincx