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En r«'*<»iiiné, nous avons obtenu les formules soiTantes

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01*1 M et N sont des fonctione définies par les formules 6 .

Les deux premières formules 111 font connaître en chaque [loint de F les éléments cj, R ; la troisième permet alors de calculer la torsion.

Remarque 1. — Considérons toutes les surfaces S :

qui correspondent à un système donné de fonctions E, F, G, c'est-àdire les surfilées définies parles équations :

2(My-'' m-è=' E(0'=«-

Ces surfaces ont une définition géométrique que nous aurons à étudier plus tard ; mais signalons dès à présent un théorème remarquable qui est mis en évidence par la deuxième formule (III). Sur chacune des surfaces S, concevons la courbe F, définie par les équations (1;. La deuxième

formule (111) montre que l'expression ( — p— 1 ne varie pas quand on

passe d^une des surfaces S à une autre ; en effet, le second membre de cette formule est absolument indépendant de E', F', G', et ne dépend

que de E, F, G, ç, ^. Celte expression ( -^- l> qui est nulle en chaque

point d^une ligne géodésique, a reçu le nom de courbure géodésique de la courbe F au point M.

^5. — Autre expression de la courbure géodésique

A chaque point M de la surface faisons correspondre une tangente déterminée MD, la loi de correspondance étant définie parles équations:

(1) / = ^(m, v), m = /7^ (>, t?), n==^j(ti, v),

où /, m y n, désignent les cosinus directeurs de la tangente MD. On peut, par exemple, supposer que MD coïncide avec la tangente à la ligne de paramètre (r), qui passe par le point M.

Considérons maintenant un point M situé sur la courbe F, et soit u> (fig. 38) Tangfle de MD avec la tangente MT.

co = MD, MT.

Lorsque le point M décrit la courbe F, (o est une fonction bien déterminée de s. Supposons cette fonction donnée ; nous allons voir que la formule qui donne la courbure géodésique en M prend une forme particulièrement simple. Dilîérentions à cet effet la relation:

l3) «lie donne

ii)