SI

S, ax

dtù \r^ , d^œ , vi dldx ^"^^•^ = 2^1^ + 2

ds^

Or, la projection du segment directeur de MD sur MN^, c'est-à-dire {/ig, 38) le cosinus de Fangle de MD avec MNi, est évidemment ( — sin w sin cr); donc la formule précédente devient:

yidldx

sin (*>

(sin CT doA Itldla , ÏT -■ ds) "" ds^

Remarquons que la forme quadratique ïldldœ peut être décomposée €n facteurs simples du premier degré. En effet :

dl dm dn abc l m n

dx dy dz abc l m n

V didx.

Soient alors (/|, m^^ n^) les cosiaus directeurs de la demi-droite MD, perpendiculaire à MD et telle que :

md3ïd; = + |-

L'identité (6) peut prendre la forme :

et, par suite,

(7) 2\dldx == {r^du + r^do) ds sino),

où Ti et r^ sont définies par F identité :

(8) ^/<rf/ = r^du + r^dv.

La formule (5) devient, si on y remplace Vc/Zctepar sa valeur (7 1 :

^"* ^ R-^ds^'^'ds+'^^ds

Telle est la formule que nous voulions obtenir. Remarquons que :

Calcul de r^ et r^. — Soient a, p,les paramètres directeurs superficiels de la tangente MD ; ces quantités sont des fonctions de (u, v) que Ton a appris à calculer connaissant /, w, n. Nous allons voir que r, et r, s'expriment au moyen des fonctions (E, F, G, a, p) et de leurs dérivées et ne dépendent nullement de E', F', G'.

La relation :

donne :

^u ^u ^u ^u Dd ' ^u* ' *^ DwDt?

Si Ton tient compte des formules deGauss (!***'), on peut écrire :

par suite :

Désignons par x^ et p^ les paramètres directeurs de MD^ ; on a évidemment :

2^f = F«.+GB,;

mais on a vu (p. 114) que :

Fa 4- GS

donc :

Eg + Fp .

E'.ë=-pv^- S^S=«v/^-

En définitive :

•< = + Va

de même, on trouve :