LIGNES ASYMPTOTIQUES. — LIGNES CONJUGUÉES
§ 1. — Lignes asymploliques d'une surface quelconque
Nous avons vu (p. 132) que pour toutes les courbes F, tracées sur la surface S, passant par le point M et admettant en ce point la même tangente, chacune des expressions :
COS 77 J G?rT
<.*onserve la même valeur. Celte proposition nous conduit à considérer deux catégories particulières de courbes tracées sur S, à savoir :
1° Les courbes telles qu'en chaque point le premier invariant est nul ;
2* » » second »
Les premières sont dites les lignes asymploliques de la surface, les secondes sont les lignes de courbure. Ces dénominations seront justifiées plus loin.
Occupons-nous d'abord des premières. La définition que nous venons d'en donner montre que : pour qu'une ligne F, tracée sur S, soit une ligne asymptotique, il faut et il suffit qu'elle soit une ligne droite ou bien <|u'en chacun de ses points le plan osculateur soit tangent à la surface.
Equation différentielle, — Cherchons les lignes asymptotiques :
<le la surface. On a trouvé (§ 3, p 133) que, en chaque point de F,
cos gj K'du^ + ^IV'dudv 4- C/dv^ , R " Kdu^ + ^l^cludv + Gdv^ '
donc, si on ne précise pas la variable indépendante, Féqualion diffé-
Lir.NKS ASYMPTOTIQUES. — LIGNES CONJUGUÉES
rentielle des lignes asymploti(iues est :
F:dn^ + 'àFcfifdc + G'dv^ =i o.
Cette équation se décompose en deux réelles ou imaginaires
dv — adu = o,
dv — pdu =: o.
11 y a donc deux familles (réelles ou imaginaires) de lignes asympto*
ti({ues:
Par cha(|ue point M de la surface passe une courbe de chaque famille. Les coefficients de direction X et u des tangentes en M à ces deux lignes sont évidemment définis par :
E'X3 + 2FV + G>« — 0.
Ces tangentes seront appelées les tangentes asymptotiques de la surface au point M.
Pour que les deux familles de lignes asymptotiques soient confondues, il faut et il suffit que Ion ait identiquement :
dans ce cas, nous verrons que la surface est développable, les lignes asymptoti(|ues sont alors les génératrices.
Remarque I. — L'écpation difTérentielIe ij ne change pas si on remplace E', F', G' par des quantités proportionnelles. Il est donc inutile, pour appliquer Téquation (I), de calculer les cosinus directeurs de la normale k la surface. On fera le tableau des dérivées des deux premiers ordres :
D^ir
hi
On remplacera dans l'équation (1) F/ par le déterminant des colonnes 1, 2, 3.
Puis on remplacera dans 1 équation (1) F' par le déterminant des colonnes I, 2, i. Puis enfin on remplacera dans Téquation (1) G' par le déterminant des colonnes 1,2, 5.
Exemple I. — Supposons la surface S définie par:
X =:^ U -{- Vf
yzzz «a -f l?2^
^ =zz ?e' -f- 1?* ;
le tableau précédent se réduit à
et Téquation des lignes asymptotiques est:
du^ — dv^ -— o; les deux familles cherchées sont, par suite.
u — r = rt,
ti -\- V T=z ô;
la seconde se compose de lignes droites, la surface est donc une surface gauche.
Exemple II. — Supposons que la surface S soit une surface gauche
quelconque :
a:-=: Xq-\- au, y z= y^ -\- bu, xr = ^o + ^'^
a?o, yoi ^oy «, *, r, étant des fonctions de v. L'une des familles de lignes asymptotiques se compose de génératrices; cherchons l'autre. Le tableau des dérivées est ici :
«"i + au
Xq + o'h
yi + à'n
yl + b"n
z', + en
zl + b'H
L'équation différentielle (1), après la suppression du facteur^», prend la forme de Riccati :
^ =z A + B« + Cn% dv
où A, B, C, sont des fonctions de r. L'intégrale de cette équation a,
