LIGNES ASYMPTOTIQUES. LIGNES CONJUGUÉES
comme on sait, la forme :
*/ — • ■ ■'■■ ^ — 4 "* R + Sa
P, Q, R, S, étant des fonctions de v, et a désignant un paramètre quel^ conque.
Exemple III. — Le lecteur pourra appliquer la méthode précédente aux surfaces télraédraies^ c'est-à-dire aux surfaces définies par :
œ =z A (Il — «)'" {v — a)"*, y —B (u — l/Y'* (v — ô)"*, ^ = C (il — r)"* {v — c)'",
Dans ce cas', Téquation (1) est intégrable algébriquement. Ce cas d'intégrabilité a été signalé par M. Lie.
Plus généralement les lignes asymptotiques des surfaces définies par des équations de la forme :
œ = A {i( — a)"* [v — «)'*, y = A («— by (e?— b)''
s'obtiennent par quadratures. Ce résultat est dû à M. Darboux (voir Théorie des Surfaces, livre I, p. 142).
Enfin, M. RafTy a généralisé encore les résultats précédents et indiqué d'autres cas simples, où l'équation ( I ) est intégrable par quadratures (voir BiiUelin de la Société Mathématique, tome XXIV, année 189fi).
§2. — Lignes conjuguées
Soient MT, MT', deux droites tangentes en M à la surface S. On dit que ces tangentes sont conjuguées, si elles sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes asymptotiques. Soient (X, {j.) et (X', \l) les coefficients de direction respectifs des tangentes MT, MT'; la condition pour qu'elles soient conjuguées est (p. 113):
Propriété fondamentale des tangentes conjuguées, — Considérons un arc de courbe quelconque MP tangent en M à MT, et soit ï la dévelop-
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pable circonscrite à S suivant cet arc MP. Nous allons voir que : quel que soit Tare MP, la génératrice de la surface S qui passe par M est MT'.
En effet, désignons comme d'habitude par â, 6, e, les cosinus dlrecteurs de la normale MW et par MT"' la génératrice de S, qui passe par M ; enfin, soient a'', ijl", les coefficients de direction superficiels de MT*,
La droite MT^ est Tintersection du plan tangent en M et du plan :
(2) (X — x) (fa + (Y — y) db + (Z — -?) de ^z o,
011 d désigne les différentielles correspondantes au déplacement de M sur l'arc M P. Donc il en résulte :
.*-J \ Oh ' 00/
c est-àdire:
(') S^'l+.-'Dl^+l <■) = »■
Si on se reporte aux expressions de E\ F', G', on voit immédiatement que réquation (3) peut s'écrire :
(E'X + F» X" + (Fa + GV) ji^" = o.
Donc MT" se confond avec la tangente MT', conjuguée de MT.
Systèmes de h'(/nes conjuguées, — A chaque point M de la surface faisons correspondre une tangente déterminée MT et sa conjuguée MTj^ La congruence des droites MT et celle des droites MT' sont dites deux congruences conjuguées.
Considérons maintenant deux familles de courbes :
op (/^ v) =.- a, ^ {n, v) = b.
Si la congruence des tangentes de l'une est conjuguée de la congruence des tangentes de lautre, les deux familles forment ce que Ton appelle un système de lignes conjuguées ou, par abréviation, un système conjugué.
On peut choisir arbitrairement Tune des familles d'un système conjugué, par exemple :
